Относителното положение на два кръга. Относителното положение на две окръжности в равнина

Тема на урока: " Относителното положение на две окръжности в равнина.

Мишена :

Образователни - усвояване на нови знания за взаимното разположение на две окръжности, подготовка за контролна работа

Развитие - развитие на изчислителни умения, развитие на логико-структурно мислене; развиване на умения за намиране на рационални решения и постигане на крайни резултати; развитие на познавателната активност и творческото мислене.

Образователни – формиране на отговорност и последователност у учениците; развитие на познавателни и естетически качества; формиране на информационна култура на учениците.

Поправителен - развиват пространствено мислене, памет, двигателни умения на ръцете.

Тип урок:изучаване на нов учебен материал, затвърдяване.

Тип урок:смесен урок.

Метод на обучение:словесно, визуално, практично.

Форма на обучение:колективен.

Средства за обучение:дъска

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА:

1. Организационен етап

- поздравления;

- проверка на готовността за урока;

2. Актуализиране на основни знания.
Какви теми разгледахме в предишните уроци?

Общ вид на уравнението на окръжност?

Изпълнете устно:

Блиц анкета

3. Въвеждане на нов материал.

Каква цифра мислите, че ще разгледаме днес... Ами ако са двама??

Как могат да бъдат локализирани???

Децата показват с ръце (съседи) как могат да се подредят кръговете ( физкултурна минута)

Е, какво мислите, че трябва да разгледаме днес? Днес трябва да разгледаме относителната позиция на две окръжности. И разберете какво е разстоянието между центровете в зависимост от местоположението.

Тема на урока:« Относителното положение на два кръга. Разрешаване на проблем.»

1. Концентрични кръгове

2. Дизюнктни окръжности

3.Външен допир

4. Пресичащи се окръжности

5. Вътрешен допир

И така, нека заключим

4.Формиране на умения и способности

Намерете грешка в данните или твърдението и я коригирайте, обосновавайки мнението си:

А) Две окръжности се докосват. Техните радиуси са равни на R = 8 cm и r = 2 cm, разстоянието между центровете е d = 6.
Б) Две окръжности имат поне две общи точки.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Окръжностите нямат общи точки.

D) R = 8, r = 6, d = 4. По-малкият кръг се намира вътре в по-големия.

Г) Два кръга не могат да бъдат разположени така, че единият да е вътре в другия.

5. Затвърдяване на умения и способности.

Кръговете се допират външно. Радиусът на по-малката окръжност е 3 см. Радиусът на по-голямата окръжност е 5 см. Какво е разстоянието между центровете?

Решение: 3+5=8(cm)

Кръговете се допират вътрешно. Радиусът на по-малката окръжност е 3 см. Радиусът на по-голямата окръжност е 5 см. Какво е разстоянието между центровете на окръжностите?

Решение: 5-3=2(cm)

Кръговете се допират вътрешно. Разстоянието между центровете на окръжностите е 2,5 см. Какви са радиусите на окръжностите?

отговор: (5,5 см и 3 см), (6,5 см и 4 см) и т.н.

ПРОВЕРКА НА РАЗБИРАНЕТО

1) Как могат да бъдат разположени два кръга?

2) В какъв случай окръжностите имат една обща точка?

3) Как се нарича общата точка на две окръжности?

4) Какви докосвания знаете?

5) Кога се пресичат кръговете?

6) Какви окръжности се наричат ​​концентрични?

Допълнителни задачи по темата: Вектори. Координатен метод"(ако остане време)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Намерете:

а) координати на вектори EF,GH

б) дължината на вектора FG

в) координати на точка O - средата на EF

координати на точка W – среда на GH

г) уравнение на окръжност с диаметър FG

д) уравнение на правата FH

6. Домашна работа

& 96 № 1000. Кои от тези уравнения са уравнения на окръжност. Намерете център и радиус

7. Обобщаване на урока(3 мин.)

(дайте качествена оценка на работата на класа и отделните ученици).

8. Етап на рефлексия(2 минути.)

(инициирайте размисъл на учениците върху тяхното емоционално състояние, техните дейности, взаимодействие с учителя и съучениците с помощта на рисунки)

Нека са дадени окръжност и точка, която не съвпада с центъра й C (фиг. 205). Възможни са три случая: точката лежи вътре в окръжността (фиг. 205, a), върху окръжността (фиг. 205, b), извън окръжността (фиг. 205, c). Нека начертаем права линия, която ще пресича окръжността в точки K и L (в случай b) точката ще съвпадне с една от които ще бъде най-близо до точката в сравнение с всички останали точки на окръжността), а другата ще бъде най-отдалечен.

Така например на фиг. 205, а точка K от окръжността е най-близо до . Всъщност, за всяка друга точка от окръжността, начупената линия е по-дълга от сегмента SAG: но също така, напротив, за точка L намираме (отново начупената линия е по-дълга от сегмента на правата линия). Анализът на останалите два случая оставяме на читателя. Обърнете внимание, че най-голямото разстояние е равно на най-малкото ако или ако.

Нека да преминем към анализиране на възможните случаи на подреждане на два кръга (фиг. 206).

а) Центровете на окръжностите съвпадат (фиг. 206, а). Такива кръгове се наричат ​​концентрични. Ако радиусите на тези окръжности не са равни, тогава едната от тях лежи вътре в другата. Ако радиусите са равни, те съвпадат.

б) Нека сега центровете на окръжностите са различни. Нека ги свържем с права линия, тя се нарича линия на центровете на дадена двойка окръжности. Относителното положение на кръговете ще зависи само от връзката между стойността на сегмента d, свързващ техните центрове, и стойностите на радиусите на кръговете R, r. Всички възможни значително различни случаи са представени на фиг. 206 (преброяване).

1. Разстоянието между центровете е по-малко от разликата в радиусите:

(Фиг. 206, b), малкият кръг лежи вътре в големия. Това включва и случая на а) съвпадение на центрове (d = 0).

2. Разстоянието между центровете е равно на разликата в радиусите:

(Фиг. 206, s). Малкият кръг лежи вътре в големия, но има една обща точка с него на линията на центровете (казват, че има вътрешно допиране).

3. Разстоянието между центровете е по-голямо от разликата в радиусите, но по-малко от тяхната сума:

(Фиг. 206, d). Всеки кръг лежи отчасти вътре и отчасти извън другия.

Кръговете имат две пресечни точки K и L, разположени симетрично спрямо линията на центровете. Отсечката е обща хорда от две пресичащи се окръжности. Тя е перпендикулярна на линията на центровете.

4. Разстоянието между центровете е равно на сумата от радиусите:

(Фиг. 206, d). Всяка от окръжностите лежи извън другата, но имат обща точка на линията на центровете (външно допиране).

5. Разстоянието между центровете е по-голямо от сумата на радиусите: (фиг. 206, е). Всеки кръг лежи изцяло извън другия. Окръжностите нямат общи точки.

Горната класификация следва напълно от обсъденото. над въпроса за най-голямото и най-малкото разстояние от точка до окръжност. Просто трябва да вземете предвид две точки на един от кръговете: най-близката и най-отдалечената от центъра на втория кръг. Например, нека разгледаме случая По условие. Но точката на малкия кръг, която е най-отдалечена от O, се намира на разстояние от центъра O. Следователно целият малък кръг лежи вътре в големия кръг. Други случаи се разглеждат по същия начин.

По-специално, ако радиусите на кръговете са равни, тогава са възможни само последните три случая: пресичане, външно допиране, външно местоположение.

Тема на урока: " Относителното положение на две окръжности в равнина.

Мишена :

Образователни - усвояване на нови знания за взаимното разположение на две окръжности, подготовка за контролна работа

Развитие - развитие на изчислителни умения, развитие на логико-структурно мислене; развиване на умения за намиране на рационални решения и постигане на крайни резултати; развитие на познавателната активност и творческото мислене .

Образователни – формиране на отговорност и последователност у учениците; развитие на познавателни и естетически качества; формиране на информационна култура на учениците.

Поправителен - развиват пространствено мислене, памет, двигателни умения на ръцете.

Тип урок: изучаване на нов учебен материал, затвърдяване.

Тип урок: смесен урок.

Метод на обучение: словесно, визуално, практично.

Форма на обучение: колективен.

Средства за обучение: дъска

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА:

1. Организационен етап

- поздравления;

- проверка на готовността за урока;

2. Актуализиране на основни знания.
Какви теми разгледахме в предишните уроци?

Общ вид на уравнението на окръжност?

Изпълнете устно:

Блиц анкета

3. Въвеждане на нов материал.

Каква цифра мислите, че ще разгледаме днес... Ами ако са двама??

Как могат да бъдат локализирани???

Децата показват с ръце (съседи) как могат да се подредят кръговете (физкултурна минута)

Е, какво мислите, че трябва да разгледаме днес? Днес трябва да разгледаме относителната позиция на две окръжности. И разберете какво е разстоянието между центровете в зависимост от местоположението.

Тема на урока: « Относителното положение на два кръга. Разрешаване на проблем. »

1. Концентрични кръгове

2. Дизюнктни окръжности

3.Външен допир

4. Пресичащи се окръжности

5. Вътрешен допир

И така, нека заключим

4.Формиране на умения и способности

Намерете грешка в данните или изявлението и я коригирайте, като аргументирате мнението си:

А) Две окръжности се докосват. Техните радиуси са равни на R = 8 cm и r = 2 cm, разстоянието между центровете е d = 6.
Б) Две окръжности имат поне две общи точки.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Окръжностите нямат общи точки.

D) R = 8, r = 6, d = 4. По-малкият кръг се намира вътре в по-големия.

Г) Два кръга не могат да бъдат разположени така, че единият да е вътре в другия.

5. Затвърдяване на умения и способности.

Кръговете се допират външно. Радиусът на по-малката окръжност е 3 см. Радиусът на по-голямата окръжност е 5 см. Какво е разстоянието между центровете?

Решение: 3+5=8(cm)

Кръговете се допират вътрешно. Радиусът на по-малката окръжност е 3 см. Радиусът на по-голямата окръжност е 5 см. Какво е разстоянието между центровете на окръжностите?

Решение: 5-3=2(cm)

Кръговете се допират вътрешно. Разстоянието между центровете на окръжностите е 2,5 см. Какви са радиусите на окръжностите?

отговор: (5,5 см и 3 см), (6,5 см и 4 см) и т.н.

ПРОВЕРКА НА РАЗБИРАНЕТО

1) Как могат да бъдат разположени два кръга?

2) В какъв случай окръжностите имат една обща точка?

3) Как се нарича общата точка на две окръжности?

4) Какви докосвания знаете?

5) Кога се пресичат кръговете?

6) Какви окръжности се наричат ​​концентрични?

Допълнителни задачи по темата: Вектори. Координатен метод "(ако остане време)

1)E(4;12),Е(-4;-10), Ж(-2;6), з(4;-2) Намерете:

а) векторни координатиЕ.Ф., Г.Х.

б) дължина на вектораFG

в) координати на т. О - средатаЕ.Ф.

координати на точкиУ– средатаГ.Х.

г) уравнение на окръжност с диаметърFG

д) уравнение на праваFH

6. Домашна работа

& 96 № 1000. Кои от тези уравнения са уравнения на окръжност. Намерете център и радиус

7. Обобщаване на урока (3 мин.)

(дайте качествена оценка на работата на класа и отделните ученици).

8. Етап на рефлексия (2 минути.)

(инициирайте размисъл на учениците върху тяхното емоционално състояние, техните дейности, взаимодействие с учителя и съучениците с помощта на рисунки)

Нека окръжностите са определени от вектор от началото до центъра и радиуса на тази окръжност.

Да разгледаме окръжности A и B с радиуси Ra и Rb и радиус вектори (вектор към центъра) a и b. Освен това Оа и Об са техни центрове. Без загуба на общност ще приемем, че Ra > Rb.

Тогава са изпълнени следните условия:

Цел 1: Имения на важни благородници

Пресечни точки на две окръжности

Да предположим, че A и B се пресичат в две точки. Нека намерим тези пресечни точки.

За да направите това, вектор от a към точка P, която лежи на окръжността A и лежи на OaOb. За да направите това, трябва да вземете вектора b - a, който ще бъде векторът между двата центъра, да го нормализирате (да го замените със съпосочен единичен вектор) и да го умножите по Ra. Означаваме получения вектор като p. Тази конфигурация може да се види на фиг. 6

Ориз. 6. Вектори a, b, p и къде живеят.

Нека означим i1 и i2 като вектори от a до пресечните точки I1 и I2 на две окръжности. Става очевидно, че i1 и i2 се получават чрез ротация от p. защото знаем всички страни на триъгълниците OaI1Ob и OaI2Ob (Радиус и разстояние между центровете), можем да получим този ъгъл fi, завъртайки вектора p в едната посока ще даде I1, а в другата I2.

Според косинусовата теорема е равно на:

Ако завъртите p с fi, получавате i1 или i2, в зависимост от това в каква посока завъртате. След това векторът i1 или i2 трябва да се добави към a, за да се получи пресечната точка

Този метод ще работи дори ако центърът на единия кръг е в другия. Но там векторът p определено ще трябва да бъде зададен в посока от a към b, което и направихме. Ако изградите p въз основа на друг кръг, тогава нищо няма да излезе от това

Е, в заключение трябва да се спомене един факт: ако кръговете се допират, тогава е лесно да се провери, че P е точката на контакт (това важи както за вътрешния, така и за външния контакт).
Тук можете да видите визуализацията (трябва да щракнете, за да я стартирате).

Проблем 2: Пресечни точки

Този метод работи, но вместо ъгъла на завъртане можете да изчислите неговия косинус и чрез него синуса и след това да ги използвате при завъртане на вектора. Това значително ще опрости изчисленията чрез елиминиране на кода от тригонометричните функции.