تابع توان، خواص آن و نمودار مطالب نمایشی درس-سخنرانی مفهوم تابع. ویژگی های عملکرد

در درس گذشته، دانش خود را در مورد "مفهوم توان" تکرار و تعمیم دادیم.

به یاد داشته باشیم که اگر - pe تقسیم بر ku یک کسری معمولی باشد و ku مساوی یک نباشد و a بزرگتر یا مساوی صفر باشد، با عبارت a به توان pe تقسیم بر ku منظور ریشه درجه ku از a به توان pe.

به عنوان مثال، عدد یک نقطه سه به توان سه هفتم را می توان به عنوان ریشه هفتم یک نقطه سه مکعبی نوشت.

توابع شکل، که در آن k هر عدد واقعی است، معمولاً توابع توان نامیده می شوند.

امروز موردی را در نظر خواهیم گرفت که k یک توان گویا (کسری) باشد.

در درس جبر برای پایه های 7-9، ویژگی ها و نمودارهای توابع توان را با توان طبیعی مطالعه کردید. تابع (k-هر عدد واقعی)، تابع توان.

برای k=n (n∈N)، تابع -power با توان طبیعی.

بیایید نمودارهای چنین توابعی را به یاد بیاوریم.

نمودار تابع یا y=x (y برابر x توان اول یا y برابر x) یک خط مستقیم است.

نمودار تابع (E برابر است با مجذور x) سهمی است.

نمودار تابع (E برابر است با X مکعب) سهمی مکعبی است.

نمودار یک تابع توانی (y برابر x توان کا است) در حالت زوج k شبیه سهمی است. شکل نمودار یک تابع توان با k برابر با شش را نشان می دهد.

نمودار یک تابع توان (y برابر x توان کا است) در مورد k فرد شبیه سهمی مکعبی است. شکل نمودار یک تابع توان با k برابر با هفت را نشان می دهد.

اگر توان تابع توان یک عدد صحیح منفی داشته باشد، تابعی از شکل به دست می‌آوریم: y برابر است با x به توان منهای en یا y برابر است با یک تقسیم بر x به توان n.

اگر n یک عدد زوج باشد، نمودار به نظر می رسد که در شکل نشان داده شده است.

تابع y=x-2 یا y= کجا نشان داده شده است؟

اگر n عددی فرد باشد، نمودار به این صورت است.

رسم تابع y=x-3 یا y= را نشان می دهد

اگر توان یک تابع توان برابر با صفر باشد، تابع به شکل زیر در می‌آید: نمودار چنین تابعی، خط مستقیمی است که از مختصات یک و موازی با محور آبسیسا می‌گذرد.

برای k=-n (n∈Z)، تابع -power با توان عدد صحیح منفی.

یک تابع توانی را در نظر بگیرید (E برابر است با توان k)، که در آن k یک عدد کسری منفی یا مثبت است.

به عنوان مثال، بیایید یک نمودار از یک تابع توان بسازیم (E برابر است با x به توان دو نقطه سه).

دامنه تعریف آن (یعنی تمام مقادیر پذیرفته شده توسط x) پرتویی است با شروع نقطه صفر.

در این حوزه از تعریف، نمودارهایی از توابع می سازیم (y برابر با x مربع) - این شاخه ای از سهمی است که با سبز روشن مشخص شده است، و (y برابر با x مکعب) - شاخه ای از سهمی مکعبی، برجسته شده است. به رنگ سبز تیره

به راحتی می توان تأیید کرد که در بازه (0;1) سهمی مکعبی در زیر سهمی قرار دارد و در پرتو باز (1;+) - در بالا.

لطفاً توجه داشته باشید که نمودارهای توابع (y برابر x مربع است)، (y برابر x به توان دو نقطه سه است) و (y برابر x مکعب است) از نقاط (0;0) عبور می کنند و (1;1).

برای سایر مقادیر آرگومان x، نمودار تابع (y برابر است با x به توان دو نقطه سه) بین نمودارهای توابع (y برابر x مربع است) و (y برابر است با x مکعب).

وضعیت با هر تابع توانی مشابه است، جایی که یک کسر نامناسب است، یعنی عدد m بزرگتر از مخرج n است. نمودار این تابع منحنی شبیه به شاخه سهمی است.

هرچه شاخص تابع k بالاتر باشد، شاخه "تندتر" جهت می یابد.

شکل نشان می دهد که نمودار تابع y برابر با x به توان هفت ثانیه است.

بنابراین، می‌توانیم ویژگی‌های زیر را از تابع توان تشخیص دهیم igr برابر با x توان em تقسیم بر en، که در آن صورت m بزرگ‌تر از مخرج n است.

1. دامنه تعریف مقادیر x از صفر تا بعلاوه بی نهایت است.

4. محدود از پایین توسط محور x، نه از بالا محدود شده است.

5. تابع کوچکترین مقدار صفر را می گیرد. مهم نیست

8. محدب به پایین.

بیایید یک نمودار از تابع بسازیم که در آن یک کسر مناسب (عدم از مخرج کوچکتر است) و 0 باشد.< <1.

خصوصیات و نمودار تابع که قبلاً مورد بحث قرار گرفت (y برابر است با ریشه n x است) یا (y برابر است با x به توان یک تقسیم بر n) همچنین برای تابعی اعمال می شود که در آن کسری مناسب است و 0< <1.

بیایید این خواص را به خاطر بسپاریم:

1. دامنه تعریف همه مقادیر x از صفر تا به علاوه بی نهایت است.

2. تابع نه زوج است و نه فرد.

3. تابع در کل دامنه تعریف افزایش می یابد.

5. تابع کوچکترین مقدار صفر را می گیرد. مهم نیست

6. تابع در کل دامنه تعریف پیوسته است.

7. محدوده تابع مقادیر بازی از صفر تا بعلاوه بی نهایت است.

8. محدب به سمت بالا. تابع، جایی که کسری مناسب است (عدد از مخرج کوچکتر است) و 0<

2. نه زوج و نه فرد.

3. افزایش می یابد.

4. از پایین توسط محور x محدود می شود، از بالا محدود نمی شود.

5. ynaim=0; مهم نیست

6. مستمر.

8. محدب به سمت بالا.

بیایید نوع تابع توان زیر را در نظر بگیریم - تابعی از شکل: y برابر است با x به توان منهای em تقسیم بر en.

قبلاً، یک تابع توانی با نما عدد صحیح منفی برابر با توان منهای k ترسیم کردیم، جایی که k یک عدد طبیعی است.

اگر x بزرگتر از صفر باشد، نمودار این تابع مانند شاخه ای از هذلولی به نظر می رسد.

به روشی مشابه، نموداری از هر تابع توانی با توان منفی گویا (کسری) ساخته می‌شود.

باید در نظر داشت که نمودار چنین تابعی دارای دو مجانب است: یک افقی یک - y برابر با صفر و یک مجانب عمودی - x برابر با صفر است.

بنابراین، تابع توان igr برابر با x به توان منهای em تقسیم بر en دارای ویژگی های زیر است (و x بزرگتر از صفر است، زیرا در مورد یک پایه منفی با توان منفی، توان عبارت ندارد معنی دارد):

1) دامنه تعریف یک تیر باز از صفر تا بی نهایت است.

2) تابع نه زوج است و نه فرد.

3) تابع در کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

4) پایین توسط محور x محدود می شود، بالا محدود نمی شود.

5) تابع مقدار حداقل یا حداکثر ندارد.

6) تابع در کل دامنه تعریف پیوسته است.

7) محدوده تابع مقادیر بازی از صفر تا بعلاوه بی نهایت است.

8) محدب به پایین.

ویژگی های تابع توان (x 0):

2). نه زوج و نه فرد.

3). در حال کاهش.

4). پایین توسط محور x محدود می شود، بالا محدود نمی شود.

5). کمترین یا بیشترین ارزش را ندارد.

6). مستمر برای

8). محدب به سمت پایین.

شما قبلاً می دانید که مشتق تابع توانی از شکل yrek برابر با x به توان en است، که در آن n یک عدد طبیعی است، برابر با n ضربدر x به توان n منهای یک.

به طور مشابه، می توانید مشتق تابع توان را با توان گویا محاسبه کنید.

بنابراین، قضیه زیر صادق است:

اگر x بزرگتر از صفر باشد و r یک عدد گویا دلخواه باشد، مشتق تابع توان y برابر است با x توان r و با این فرمول محاسبه می شود: مشتق x به توان r برابر است. به r ضربدر x به توان r منهای یک.

مثلاً مشتق a به منهای سوم برابر با منهای سه و با توان منهای چهار است.

مشتق x به توان منهای دو سوم برابر است با منهای دو سوم x به توان منهای پنج سوم.

در اینجا منهای یک به عنوان کسر نامناسب سه سوم نشان داده شد، سپس کسرهای منهای دو سوم و منهای سه سوم اضافه شدند.

قضیه: اگر x>0، عدد گویا r، آنگاه

زمانی که r برابر یک نباشد، به دست آوردن فرمول مربوطه برای ادغام یک تابع توان دشوار نیست. بنابراین، انتگرال نامعین x به توان r برابر است با x به توان r به اضافه یک تقسیم بر r به اضافه یک به علاوه ثابت ce.

درک اینکه تابع برابر با x به توان r به اضافه یک است، تقسیم بر r به علاوه یک پاد مشتق تابع برابر با x به توان r است دشوار نیست. فرمول ادغام تابع توان:

تابع پاد مشتق تابع است.

بیایید کاربرد دانش به دست آمده را هنگام ساخت نمودار یک تابع توان در نظر بگیریم.

نموداری از تابع y بسازید که برابر x به اضافه دو به توان یک نیمه است.

1. بیایید یک نمودار از تابع x به توان یک نیمه بسازیم. این تابعی از شکلی است که در آن کسری مناسب است (عدد از مخرج کوچکتر است) و 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. واضح است که نمودار تابع y برابر x به اضافه دو به توان یک دوم با استفاده از ترجمه موازی نسبت به محور x توسط دو واحد به سمت چپ ساخته شده است. در شکل، نمودار با رنگ سبز مشخص شده است.

تابع را رسم کنید

1. - یک مورد خاص برای تابعی از شکل، که در آن - یک کسر مناسب است (عدد از مخرج کوچکتر است) و 0< <1.

2. نمودار با ترجمه موازی در امتداد محور X 2 واحد به سمت چپ به دست آمد.

طرح درس:

"تابع قدرت، خواص و نمودار آن"

نام و نام خانوادگی استادنیک النا ایوانونا

محل کارسن پترزبورگ، مدرسه GBOU منطقه پوشکینسکی شماره 606

مطالعه عمیق زبان انگلیسی

عنوان شغلیمعلمان ریاضی

موردریاضیدانان

کلاس 10

موضوع و شماره در تاپیک"تابع قدرت، خواص و نمودارهای آن"

2 درس در موضوع (در مجموع 2 درس)

آموزش پایه Sh.A. Alimov، Yu.M.Sidorov، N.E.

"جبر و آغاز تجزیه و تحلیل 10-11"، کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی توصیه شده توسط وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیه: نسخه نهم آموزش مسکو 2007.

هدف درس:شکل گیری مهارت در به کارگیری دانش در مورد این موضوع هنگام حل مسائل جبری استاندارد و غیر استاندارد. ایجاد توانایی ادغام دانش از موضوعات مختلف در یک درس ریاضی

وظایف:

آموزشی: (تشکیل UUD شناختی)

قادر به مقایسه اعداد، حل نامساوی ها با استفاده از نمودارها و (یا) ویژگی های توابع توان باشد

آموزشی: (تشکیل مهارت های آموزشی ارتباطی و فردی)

پرورش علاقه پایدار به موضوع، تشکیل شایستگی ارتباطی دانش آموزان، پرورش مسئولیت و دقت

نوع درس:تعمیم و نظام مند کردن دانش

مواد و روش ها:بحث، مشاهده، مقایسه، تجربه.

تجهیزات:تخته، تجهیزات چندرسانه ای، وایت برد تعاملی، کامپیوتر، جزوات آموزشی، پوستر با نمودارهای شماره 126(2;3)

در طول کلاس ها:

1. نکته سازمانی:(2 دقیقه) برای تکرار نظریه با استفاده از یادداشت های پشتیبانی.

2. بررسی تکالیف در گروه.(10 دقیقه.)

سطح اجباری (1 گروه)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

شماره 119 (2،4،6) از نقطه، D (f)، E (f) را به صورت فواصل عددی و تعداد شکل را مطابق طرح پشتیبان نشان می دهد. .(به پیوست 1 مراجعه کنید)

نمونه پاسخ:

شماره 119(2): D (f )=(); E(f) =()،شکل 2

شماره 119(4): D (f )=(),(0; )

E (f) = (0;)، شکل 3

شماره 119(6):: D (f )= ; ) E(f) = ; ), شکل 5

شماره 124 (2) از محل

نمونه پاسخ:

مطابق شکل 13 از کتاب درسی، نمودار

بالای نمودار تابع قرار دارد

.

شماره 128. دانش آموز 1 روی تخته پاسخ سوالات را یادداشت می کند و نمودارهای شماتیک توابع را می سازد.

نمونه پاسخ ها

2) ; D(f)= ; )

E(f) = ; )

4)؛ D (f )=(-1; ); E(f) =(0;);

سطح پیشرفته (گروه 2) در حالی که معلم با گروه 1 در حال بررسی D/Z است، دانش آموزان گروه 2 در حال تکمیل کارت ها هستند. و یک دانش آموز پشت تخته سیاهشماره 129 (2،4) نمونه پاسخ:

D ()=R ; E () = ; )

4) . D ()=R ; E () = ; )

گزینه کارت 1.

گزینه کارت 2.

شماره 1. نمودارهای توابع را به صورت شماتیک رسم کنید:

شماره 2. مختصات نقاط تقاطع نمودارهای تابع را پیدا کنید:

III . به روز رسانی دانش پایه:(12 دقیقه)

1. دامنه تعریف و مجموعه مقادیر تابع را مشخص کنید:

,

2. این توابع چقدر افزایش یا کاهش دارند:

,

3. عملکرد داده شده

نتیجه گیری را در دفترچه یادداشت کنید

برای همه عملکردها

4. شماره 122 (شفاهی). با استفاده از ویژگی های تابع توان، با واحد مقایسه کنید:

نمونه پاسخ:

شماره 126 (1) - در هیئت مدیره (شماره 126 (2،3) به طور مستقل با توجه به گزینه ها).

نمونه پاسخ:

نمودار توابع را در یک سیستم مختصات بسازید.

IV . انجام تمرینات. ( 4 دقیقه.)

شماره 125(1،3،5،7) تحت دیکته.

معنی عبارات را با هم مقایسه کنید:

نمونه پاسخ: (بیایید دوباره به یادداشت های پشتیبانی نگاه کنیم)

3)؛ زیرا و عملکرد؛

5)؛ زیرا ; و تابع در حال کاهش است.

7)؛ زیرا و عملکرد در حال افزایش است.

V . مشق شب:(1 دقیقه.)

1 گروه - شماره 125 ( زوج)، 175 (2.6)، 177 (1.3)

گروه 2 - شماره 184 (2.4)، 177 (2.4)، 182 (2.3).

VI . خلاصه درس:(3 دقیقه) دانش آموزان نتیجه گیری اصلی درس را فرموله می کنند:

اگر توان یک عدد صحیح نباشد، نمودار تابع در ربع اول قرار دارد.

اگر توان یک عدد غیر صحیح مثبت باشد، تابع در حال افزایش است.

اگر توان یک عدد غیر صحیح منفی باشد، تابع در حال کاهش است. (نمایش اسلاید)

VII . تست (10 دقیقه) (به پیوست 2 مراجعه کنید) B1 و B2 در "4" و "5"، B3 و B4 - سطح اجباری (یک امتیاز برای پاسخ صحیح).

هشتم . وظایف اضافی ( 3 دقیقه.)

معادله Var1 را حل کنید.

پاسخ: -1؛6. پاسخ: -4;4.

موضوع درس: توابع قدرت، خواص و نمودارهای آنها

اهداف درس:

آموزشی:

شرایطی را برای شکل گیری دانش در مورد خواص و ویژگی های نمودارهای توابع قدرت y = x r برای مقادیر مختلف r ایجاد کنید.

آموزشی:

برای ترویج توسعه مهارت های اطلاعاتی دانش آموزان: توانایی کار با متن اسلاید، توانایی نوشتن یک خلاصه پشتیبانی.

توسعه فعالیت های خلاقانه و ذهنی دانش آموزان.

به توسعه مهارت های خود برای بیان واضح و شفاف افکار، تجزیه و تحلیل و نتیجه گیری ادامه دهید.

آموزشی:

توسعه فرهنگ گفتار ریاضی را ادامه دهید.

به شکل گیری شایستگی ارتباطی کمک کنید.

نوع درس:ترکیب شده

اشکال سازماندهی فعالیت های آموزشی:جلویی، فردی

مواد و روش ها:توضیحی-تصویری، جزئی جستجو.

وسایل آموزشی:

کامپیوتر، مدیا پروژکتور؛

تخته سیاه;

ارائه اسلاید (پاورپوینت)، (پیوست 1)؛

کتاب درسی «جبر و آغاز تحلیل»، ویرایش. A.G. Mordkovich;

کتاب کار، ابزار طراحی؛

خلاصه پشتیبان موضوع (Word document)، (پیوست 3)؛

در نتیجه مطالعه موضوع، دانش آموزان باید

بدانید:مفهوم تابع قدرت،

ویژگی های تابع توان بسته به توان.

قادر بودن به:بسته به توان، ویژگی های تابع توان را نام ببرید،

ساخت نمودار (طرح نمودارها) از توابع قدرت با منطقی

نشانگر

انجام تبدیل های ساده نمودار،

قادر به نوشتن یک خلاصه پشتیبانی،

قادر به بیان واضح و روشن افکار، تجزیه و تحلیل و نتیجه گیری باشید.

در طول کلاس ها: ما به کار بر روی توسعه مهارت های ساخت نمودارهای توابع قدرت ادامه می دهیم. تعدادی از این توابع از درس جبر برای کلاس های 7-9 برای ما آشنا هستند، اینها توابعی با توان طبیعی و توابع توان با توان عدد صحیح منفی هستند. در درس آخر با شما تئوری توابع توان با توان کسری را یادداشت کردیم

y = x p، که در آن p یک عدد واقعی داده شده است

ویژگی ها و نمودار یک تابع توان به ویژگی های توان با توان واقعی و به ویژه به مقادیر x و p که توان x p برای آنها منطقی است بستگی دارد.

2.

تعمیم خواص توابع قدرت. کار با طرح کلی حمایتی

1. روی تخته کار کنید: ساخت نمودار توابع y=x 4، y=x 7، y=x -2، y=x -5، y=x 2/5، y=x 1.3، y=x -1/3

7 نفر در هیئت مدیره کار می کنند، کسانی که در محل باقی می مانند برای تأیید بیشتر در گروه ها متحد می شوند

طبق نقشه املاک را لیست می کنیم.

دامنه.

محدوده مقادیر (مجموعه مقادیر).

زوج، تابع فرد.

افزایش، کاهش.

در پایان کار، توسط دانش آموزانی که در محل باقی مانده اند بررسی کنید (اسلایدهایی با نمودارهای توابع روی صفحه نمایش داده می شود).

2. "لوتوی ریاضی" نمودارهای تابع آماده روی صفحه نمایش داده می شوند، مجموعه ای از فرمول ها روی تخته نوشته می شوند و باید روابط برقرار شود.

بررسی متقابل:

پاسخ های صحیح: شماره 1 578 643 192

3 کار شفاهی

1. با استفاده از نمودارهای این توابع، فواصل زمانی که نمودار تابع y = x π در بالای (زیر) نمودار تابع y = x قرار دارد را پیدا کنید.

2. با استفاده از نمودارهای این توابع، فواصل زمانی که نمودار تابع y = x sin 45 در بالای (زیر) نمودار تابع y = x قرار دارد را پیدا کنید.

3. با استفاده از شکل، فواصل زمانی که نمودار تابع y = x 1- π در بالای (زیر) نمودار تابع y = x قرار دارد را پیدا کنید.

تبدیل نمودارها

در بسیاری از موارد، نمودارهای تابع را می‌توان با برخی تبدیل‌های نمودارهای تابعی از قبل شناخته شده با شکل ساده‌تر ساخت. برخی از آنها را به یاد بیاوریم.

تبدیل شفاهی نمودار یک تابع توان را در نظر بگیرید و سپس دو نمودار بسازید.

کار مستقل

یک تابع توان را خودتان تعریف کنید، نمودار آن را رسم کنید، ویژگی های آن را توصیف کنید

4.3 عملکرد برق، ویژگی ها و گرافیک آن

محتویات مطالب آموزشی:

1. تابع قدرت، تعریف، نماد.

2. ویژگی های اساسی تابع توان.

3. نمودار توابع قدرت و ویژگی های آنها.

4. محاسبه مقادیر تابع بر اساس مقدار آرگومان. تعیین موقعیت یک نقطه روی نمودار با مختصات آن و بالعکس.

5. استفاده از ویژگی های توابع برای مقایسه مقادیر درجه ها.

قدرت تابع فرم نامیده می شود y = ایکس r ، جایی کهx پایه درجه است،

r- ویژگی های یک تابع توان توسط توان آن تعیین می شود. بیایید ویژگی های اساسی توابع توان با توان های مختلف و نمودارهای آنها را در نظر بگیریم.

الف) ویژگی های تابع y = ایکس r , r > 1

D(x) = )