Статика перша умова рівноваги. Умови рівноваги тіл

Тіло перебуває у стані спокою (або рухається рівномірно і прямолінійно), якщо векторна сума всіх сил, що діють на нього, дорівнює нулю. Кажуть, що сили врівноважують одна одну. Коли ми маємо справу з тілом певної геометричної форми, при обчисленні сили, що діє, можна всі сили прикладати до центру мас тіла.

Умова рівноваги тіл

Щоб тіло, яке не обертається, знаходилося в рівновазі, необхідно, щоб рівнодіюча всіх сил, що діє на нього, дорівнювала нулю.

F → = F 1 → + F 2 → +. . + F n → = 0.

На малюнку вище зображено рівновагу твердого тіла. Брусок перебуває у стані рівноваги під дією трьох діючих на нього сил. Лінії дії сил F 1 → і F 2 → перетинаються у точці O . Точка застосування сили тяжкості - центр мас тіла C . Дані точки лежать на одній прямій і при обчисленні рівнодіючої сили F 1 → , F 2 → і m g → приводяться до точки C .

Умови рівності нулю рівнодіючої всіх сил недостатньо, якщо тіло може обертатися навколо певної осі.

Плечем сили d називається довжина перпендикуляра, проведеного від лінії дії сили до точки її застосування. Момент сили M - добуток плеча сили на її модуль.

Момент сили прагне повернути тіло навколо осі. Ті моменти, що повертають тіло проти годинникової стрілки, вважаються позитивними. Одиниця виміру моменту сили в міжнародній системі CІ - 1 Н ю т о н метр.

Визначення. Правило моментів

Якщо сума алгебри всіх моментів, прикладених до тіла щодо нерухомої осі обертання, дорівнює нулю, то тіло знаходиться в стані рівноваги.

M 1 + M 2 +. . + M n = 0

Важливо!

У випадку для рівноваги тіл необхідне виконання двох умов: рівність нулю рівнодіючої сили та дотримання правила моментів.

У механіці є різні види рівноваги. Так, розрізняють стійку та нестійку, а також байдужу рівновагу.

Типовий приклад байдужої рівноваги - колесо, що котиться (або куля), яке, якщо зупинити його в будь-якій точці, виявиться в стані рівноваги.

Стійка рівновага - така рівновага тіла, коли при його малих відхиленнях виникають сили або моменти сил, які прагнуть повернути тіло в рівноважний стан.

Нестійка рівновага - стан рівноваги, при малому відхиленні від якого сили та моменти сил прагнуть вивести тіло з рівноваги ще більше.

На малюнку вище положення кулі (1) – байдужа рівновага, (2) – нестійка рівновага, (3) – стійка рівновага.

Тіло з нерухомою віссю обертання може бути в будь-якому з описаних положень рівноваги. Якщо вісь обертання проходить через центр мас, виникає байдужа рівновага. При стійкому та нестійкому рівновазі центр мас розташовується на вертикальній прямій, яка проходить через вісь обертання. Коли центр мас знаходиться нижче за осю обертання, рівновага є стійкою. Інакше – навпаки.

Особливий випадок рівноваги – рівновага тіла на опорі. При цьому пружна сила розподіляється по всій основі тіла, а не проходить через одну точку. Тіло лежить у рівновазі, коли вертикальна лінія, проведена через центр мас, перетинає площу опори. Інакше, якщо лінія центру мас не потрапляє в контур, утворений лініями, що з'єднують точки опори, тіло перекидається.

Приклад рівноваги тіла на опорі – знаменита Пізанська вежа. За легендою з неї скидав кулі Галілео Галілей, коли проводив свої досліди щодо вивчення вільного падіння тіл.

Лінія, проведена з центру мас башти перетинає основу приблизно 2,3 м від центру.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

ВИЗНАЧЕННЯ

Стійка рівновага- це рівновага, у якому тіло, виведене зі становища рівноваги і надане себе, повертається у колишнє становище.

Це відбувається, якщо при невеликому зміщенні тіла в будь-якому напрямку від початкового положення рівнодіюча сил, що діють на тіло, стає відмінною від нуля і спрямована до рівноваги. Наприклад, кулька, що лежить на дні сферичного заглиблення (рис.1 а).

ВИЗНАЧЕННЯ

Нестійка рівновага- це рівновага, у якому тіло, виведене з становища рівноваги і надане себе, ще більше відхилятися від становища рівноваги.

В даному випадку при невеликому зміщенні тіла з положення рівноваги рівнодіюча доданих до нього сил відрізняється від нуля і спрямована від рівноваги. Прикладом може бути кулька, що у верхній точці опуклої сферичної поверхні (ри.1 б).

ВИЗНАЧЕННЯ

Байдужна рівновага- це рівновага, у якому тіло, виведене з становища рівноваги і надане себе, не змінює свого становища (стану).

У цьому випадку при невеликих зміщеннях тіла з первісного положення рівнодіюча додана до тіла сил залишається рівною нулю. Наприклад, кулька, що лежить на плоскій поверхні (рис.1, в).

Рис.1. Різні типи рівноваги тіла на опорі: а) стійка рівновага; б) нестійка рівновага; в) байдужа рівновага.

Статична та динамічна рівновага тіл

Якщо в результаті дії сил тіло не отримує прискорення, воно може бути в стані спокою або рухатися рівномірно прямолінійно. Тому можна говорити про статичну та динамічну рівновагу.

ВИЗНАЧЕННЯ

Статична рівновага- це така рівновага, коли під дією прикладених сил тіло перебуває у стані спокою.

Динамічна рівновага- це така рівновага, коли за дією сил тіло не змінює свого руху.

У стані статичної рівноваги знаходиться підвішений на тросах ліхтар, будь-яка будівельна споруда. Як приклад динамічної рівноваги можна розглядати колесо, яке котиться плоскою поверхнею за відсутності сил тертя.

Умови рівноваги твердого тіла у курсі фізики середньої школи вивчаються у розділі «Механіка» щодо статики як розділу механіки. Висвітлюється факт, що рух тіла буває двох видів: поступальний та обертальний. Поступальним називають рух, у якому будь-яка пряма, проведена через будь-які дві точки тіла у цій інерційної системі відліку у процесі руху залишається паралельної самої себе. Обертальним називають такий рух, при якому всі точки, що належать тілу, за проміжок часу повертаються щодо осі обертання на однаковий кут.

Вводиться центр ваги тіла. І тому тіло подумки розбивається на безліч елементів. Центром тяжіння буде точка, де перетинаються прямі, на яких лежать вектори сил тяжіння, що діють елементи тіла. Далі розглядаються окремі випадки, що ілюструють залежність виду руху твердого тіла від точки застосування зовнішньої сили:

1. Нехай сила прикладена до центру тяжкості або незакріпленої осі обертання – тіло рухатиметься поступово, обертання не буде;
2. Нехай сила прикладена до довільної точки тіла, при цьому вісь обертання закріплена - тіло обертатиметься, поступального руху не буде;
3. Нехай сила прикладена до довільної точки тіла, при цьому вісь обертання не закріплена - тіло обертатиметься навколо своєї осі і при цьому рухатиметься поступально.

Запроваджується момент сили. Момент сили – це векторна фізична величина, що характеризує обертальний ефект сили. Математично у вузівському курсі загальної фізики момент сили вводять як векторний добуток плеча сили на вектор даної сили:

де – це плече сили. Очевидно, що рівняння (2) є наслідком рівняння (1).

Учням пояснюється, що плече сили – це найкоротша відстань від точки опори (або осі обертання) до лінії дії сили.

Перша умова (рівняння (3)) забезпечує відсутність поступального руху, друга умова (рівняння (4)) – відсутність обертального. Непогано було б звернути увагу, що рівняння (3) є окремим випадком 2-го закону Ньютона (при ).

Учням необхідно засвоїти, що момент сили – це векторна величина, тому при скалярному записі рівняння (4) необхідно враховувати знак моменту. Для учнів школи правила звучать так:

1. Якщо сила прагне повернути тіло проти годинникової стрілки – її момент щодо цієї осі позитивний;
2. Якщо сила прагне повернути тіло за годинниковою стрілкою – її момент щодо цієї осі негативний.

Як приклад застосування умов рівноваги твердого тіла служить застосування важелів та блоків. Нехай одне плече важеля діє сила , інше - (рис. 1).

У даному випадку уявімо, що опора тіла нерухома, тому нам знадобиться лише друга умова рівноваги:

У скалярному вигляді, врахувавши знаки, отримуємо:

Отримане вираз називається умовою рівноваги важеля. Учні повинні твердо засвоїти, що це лише окремий випадок, і в більш загальних випадках необхідно спиратися на рівняння (4).

Як відомо з курсу 7-го класу, блоки бувають рухомий та нерухомий. За допомогою умов рівноваги аналізують роботу з рівномірного підйому вантажу за допомогою нерухомого блоку та системи рухомого та нерухомого блоків.

1. Нерухомий блок.
Нехай діаметр блоку d. Скориставшись умовою рівноваги (4), отримуємо: Отриманий факт ілюструє, що нерухомий блок не дає виграшу в силі, тобто ми повинні будемо докласти для підйому вантажу силу, що дорівнює модулю ваги вантажу. Нерухомий блок застосовується тільки для зручності, в основному в парі з рухомим блоком.
2. Рухомий блок.
Скористаємося рівнянням (4) аналогічно випадку з нерухомим блоком:

Ми отримали, що в системі рухомого та нерухомого блоків за відсутності сил тертя виходить виграш у силі в 2 рази. У разі діаметри блоків були однакові. Корисно буде з учнями розібрати способи отримання виграшу в силі в 4, 6 і т.д.

На закінчення, проаналізувавши те, що говорилося вище, формулюється «золоте правило» механіки. Вирішуються завдання на важелі, блоки та інші випадки рівноваги тіл.

Очевидно, що тіло може лежати лише по відношенню до однієї певної системи координат. У статиці вивчають умови рівноваги тіл саме у такій системі. При рівновазі швидкості та прискорення всіх ділянок (елементів) тіла дорівнюють нулю. З огляду на це можна встановити одну з необхідних умов рівноваги тіл, використовуючи теорему про рух центру мас (див. § 7.4).

Внутрішні сили впливають рух центру мас, оскільки їх сума завжди дорівнює нулю. Визначають рух центру ваги тіла (або системи тіл) лише зовнішні сили. Так як при рівновазі тіла прискорення всіх його елементів дорівнює нулю, то нулю і прискорення центру мас. Але прискорення центру мас визначається векторною сумою зовнішніх сил, що додаються до тіла (див. формулу (7.4.2)). Тому при рівновазі ця сума має дорівнювати нулю.

Справді, якщо сума зовнішніх сил F i дорівнює нулю, то й прискорення центру мас c = 0. Звідси випливає, що швидкість центру мас с = const. Якщо початковий момент швидкість центру мас дорівнювала нулю, то й надалі центр мас залишається у спокої.

Отримана умова нерухомості центру мас є необхідною (але, як ми швидко побачимо, недостатньою) умовою рівноваги твердого тіла. Це так звана перша умова рівноваги. Його можна сформулювати в такий спосіб.

Для рівноваги тіла необхідно, щоб сума зовнішніх сил, прикладених до тіла, дорівнювала нулю:

Якщо сума сил дорівнює нулю, то дорівнює нулю і сума проекцій на всі три осі координат. Позначаючи зовнішні сили через 1, 2, 3 і т. д., отримаємо три рівняння, еквівалентні одному векторному рівнянню (8.2.1):

Для того, щоб тіло спочивало, необхідно ще, щоб початкова швидкість центру мас дорівнювала нулю.

Друга умова рівноваги твердого тіла

Рівність нулю суми зовнішніх сил, які діють тіло, необхідне рівноваги, але недостатньо. При виконанні цієї умови лише центр мас із необхідністю буде спочивати. У цьому неважко переконатись.

Прикладемо до дошки у різних точках рівні за модулем і протилежні за напрямом сили так, як показано на малюнку 8.1 (дві такі сили називають парою сил). Сума цих сил дорівнює нулю: + (-) = 0. Але дошка повертатиметься. У спокої перебуває лише центр мас, якщо його початкова швидкість (швидкість до докладання сил) дорівнювала нулю.

Мал. 8.1

Так само дві однакові за модулем і протилежні за напрямом сили повертають кермо велосипеда або автомобіля (рис. 8.2) навколо осі обертання.

Мал. 8.2

Неважко зрозуміти, у чому тут річ. Будь-яке тіло в рівновазі, коли сума всіх сил, що діють на кожен його елемент, дорівнює нулю. Але якщо сума зовнішніх сил дорівнює нулю, то сума всіх сил, прикладених до кожного елемента тіла, може бути рівною нулю. В цьому випадку тіло не перебуватиме в рівновазі. У розглянутих прикладах дошка і кермо тому не перебувають у рівновазі, що сума всіх сил, що діють на окремі елементи цих тіл, не дорівнює нулю. Тіла обертаються.

З'ясуємо, яка ще умова, окрім рівності нулю суми зовнішніх сил, має виконуватися, щоб тіло не оберталося та перебував у рівновазі. Для цього скористаємося основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла (див. § 7.6):

Нагадаємо, що у формулі (8.2.3)

є сумою моментів прикладених до тіла зовнішніх сил щодо осі обертання, a J - момент інерції тіла щодо тієї ж осі.

Якщо , то і Р = 0, тобто тіло не має кутового прискорення, і, отже, кутова швидкість тіла

Якщо початковий момент кутова швидкість дорівнювала нулю, те й надалі тіло нічого очікувати здійснювати обертальний рух. Отже, рівність

(при ω = 0) є другою умовою, необхідною для рівноваги твердого тіла.

При рівновазі твердого тіла сума моментів усіх зовнішніх сил, що діють на нього щодо будь-якої осі(1), дорівнює нулю.

У випадку довільного числа зовнішніх сил умови рівноваги твердого тіла запишуться як:

Ці умови необхідні та достатні для рівноваги будь-якого твердого тіла. Якщо вони виконуються, то векторна сума сил (зовнішніх та внутрішніх), що діють на кожен елемент тіла, дорівнює нулю.

Рівновість деформованих тіл

Якщо тіло не абсолютно тверде, то під дією прикладених до нього зовнішніх сил воно може не перебувати в рівновазі, хоча сума зовнішніх сил та сума їх моментів щодо будь-якої осі дорівнює нулю. Це відбувається тому, що під дією зовнішніх сил тіло може деформуватися і в процесі деформації сума всіх сил, що діють на кожний його елемент, у цьому випадку не дорівнюватиме нулю.

Прикладемо, наприклад, до кінців гумового шнура дві сили, рівні за модулем і спрямовані вздовж шнура в протилежні сторони. Під дією цих сил шнур не перебуватиме в рівновазі (шнур розтягується), хоча сума зовнішніх сил дорівнює нулю і дорівнює нулю сума їх моментів щодо осі, що проходить через будь-яку точку шнура.

При деформації тіл, крім того, відбувається зміна плечей сил і, отже, зміна моментів сил за заданих сил. Відзначимо ще, що тільки у твердих тіл можна переносити точку застосування сили вздовж лінії дії сили в будь-яку іншу точку тіла. Це не змінює моменту сили та внутрішнього стану тіла.

У реальних тілах переносити точку додатків сили вздовж лінії її дії можна лише тоді, коли деформації, які викликає ця сила, малі та ними можна знехтувати. У цьому випадку зміна внутрішнього стану тіла при перенесенні точки застосування сили несуттєва. Якщо ж деформації нехтувати не можна, то такий перенесення неприпустимий. Так, наприклад, якщо вздовж гумового бруска до двох його кінців прикласти дві рівні по модулю і протилежні напряму сили 1 і 2 (рис. 8.3, а), то брусок буде розтягнутий. При перенесенні точок застосування цих сил уздовж лінії дії в протилежні кінці бруска (рис. 8.3, б) ті ж сили стискатимуть брусок і його внутрішній стан виявиться іншим.

Мал. 8.3

Для розрахунку рівноваги тіл, що деформуються, потрібно знати їх пружні властивості, тобто залежність деформацій від діючих сил. Це складне завдання ми вирішувати не будемо. Прості випадки поведінки тіл, що деформуються, будуть розглянуті в наступному розділі.

(1) Ми розглядали моменти сил щодо реальної осі обертання тіла. Але можна довести, що при рівновазі тіла сума моментів сил дорівнює нулю щодо будь-якої осі (геометричної лінії), зокрема, щодо трьох осей координат або щодо осі, що проходить через центр мас.

Статика.

Розділ механіки, в якому вивчаються умови рівноваги механічних систем під дією прикладених до них сил та моментів.

Рівновага сил.

Механічну рівновагу, також відомо як статична рівновага, - стан тіла, що перебуває в спокої, або рівномірно рухається, в якому сума сил і моментів, що діють на нього, дорівнює нулю

Умови рівноваги твердого тіла.

Необхідною і достатніми умовами рівноваги вільного твердого тіла є рівність нулю векторної суми всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, рівність нулю суми всіх моментів зовнішніх сил щодо довільної осі, рівність нулю початкової швидкості поступального руху тіла і умова рівності нулю початкової кути.

Види рівноваги.

Рівновість тіла стійка, якщо при будь-яких допускаються зовнішніми зв'язками малих відхиленнях від положення рівноваги в системі виникають сили або моменти сил, які прагнуть повернути тіло у вихідний стан.

Рівновага тіла нестійкаякщо хоча б при деяких допустимих зовнішніх зв'язках скільки завгодно малих відхилень від положення рівноваги в системі виникають сили або моменти сил, які прагнуть ще більше відхилити тіло від початкового стану рівноваги.

Рівновага тіла називається байдужою, якщо при будь-яких малих відхиленнях від положення рівноваги в системі, що допускаються зовнішніми зв'язками, в системі виникають сили або моменти сил, які прагнуть повернути тіло у вихідний стан

Центр важкості твердого тіла.

Центром тяжкостітіла називається точка, щодо якої сумарний момент сил тяжіння, які діють систему, дорівнює нулю. Наприклад, у системі, що складається з двох однакових мас, з'єднаних незламним стрижнем, і поміщеною в неоднорідне гравітаційне поле (наприклад, планети), центр мас перебуватиме в середині стрижня, в той час як центр ваги системи буде зміщений до кінця стрижня, який знаходиться ближче до планети (бо вага маси P = mg залежить від параметра гравітаційного поля g), і, взагалі кажучи, навіть розташований поза стрижнем.

У постійному паралельному (однорідному) гравітаційному полі центр тяжіння завжди збігається із центром мас. Тому на практиці ці два центри майже збігаються (оскільки зовнішнє гравітаційне поле в некосмічних завданнях може вважатися постійним у межах об'єму тіла).

З цієї ж причини поняття центр мас і центр тяжкості збігаються при використанні цих термінів у геометрії, статиці тощо, де застосування його в порівнянні з фізикою можна назвати метафоричним і де неявно передбачається ситуація їх еквівалентності (оскільки реального гравітаційного поля немає і не має сенсу врахування його неоднорідності). У цих застосуваннях традиційно обидва терміни синонімічні, і нерідко другий воліє просто тому, що він старіший.