Обчислення площ фігур за допомогою інтегралів. Тема уроку: «Обчислення площ за допомогою інтегралів Обчислимо площу отриманої фігури за формулою

Розділи: Математика

Цілі уроку:узагальнення та вдосконалення знань на цю тему.

Завдання:

• Навчальні:
  • організація спілкування під час уроку (учитель – учень, учень – вчитель);
  • реалізація диференційованого підходу до навчання;
  • забезпечити повторення основних понять.
• Розвиваючі:
  • розвивати вміння виділяти головне;
  • логічно викладати думки.
• Виховні:
  • формування культури навчальної діяльності та інформаційної культури;
  • виховання вміння долати труднощі.

Схема уроку.

Під час перегляду презентації учні відповідають на запитання:

1. Що називається криволінійною трапецією?
2. Чому дорівнює площа криволінійної трапеції?
3. Дайте визначення інтегралу.

Клас розбитий на 2 підгрупи. Перша підгрупа сильніша, ніж друга, тому 2 підгрупа спочатку працює з учителем (повторює правила обчислення інтегралів – перевірка йде біля дошки), а потім працює за комп'ютером, виконуючи самостійну роботу. Друга підгрупа із середніми здібностями працює самостійно. У дидактичній грі “Інтеграл” необхідно розшифрувати висловлювання: “Чиста совість – найм'якша подушка”. Домашнє завдання дається творче – підібрати 5 оригінальних прикладів на знаходження площ плоских фігур із кресленнями.

Варіант №1.

Інструкція

2. Побудова графіків:

а) Графіки – Додати графік… - в полі Формулавведіть формулу функції – виберіть товщину лінії – ОК.
.

Правка – Додати тегу…

Вигляд – Списки графіків.

Завдання

а) _______________
б) _______________

4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками цих функций:

а) ________________________
________________________
________________________

б)________________________
________________________
________________________

Самостійна робота "Обчислення площі плоских фігур за допомогою певного інтегралу"

Учні____11 класу, групи ____________________________

Варіант 2

Інструкція

1. Відкрийте графобудівник Advanced Grapher з робочого столу.

2. Побудова графіків:

а) Графіки – Додати графік…
б) Для позначення ступеня використовуйте знак ^ (наприклад, )
в) Для набору тригонометричних функцій використовуйте схему: Графіки – Набір властивостей – Тригонометричний набір. Далі за звичайною схемою, але необхідно збільшити масштаб.

3. Підписати назву функції: Правка – Додати тегу…

4. Вимкнути відображення всіх графіків на панелі: Вигляд – Списки графіків

Завдання

1. Користуючись інструкцією, що додається, побудуйте графіки функцій:

2. Знайдіть точки перетину цих графіків

а) ______________________________
б) ______________________________

3. Визначте проміжок інтегрування

а) _______________
б) _______________

а) ________________________
________________________
________________________

б) ________________________
________________________
________________________

Самостійна робота "Обчислення площі плоских фігур за допомогою певного інтегралу"

Учні____11 класу, групи ____________________________

Варіант 3.

Інструкція

1. Відкрийте графобудівник Advanced Grapher з робочого столу.

2. Побудова графіків:

а) Графіки – Додати графік…– у полі Формула введіть формулу функції – виберіть товщину лінії – ОК.
б) Для позначення ступеня використовуйте знак ^ (наприклад, )
в) Для набору тригонометричних функцій використовуйте схему: Графіки – Набір властивостей – Тригонометричний набір.Далі за звичайною схемою, але необхідно збільшити масштаб.

3. Підписати назву функції: Правка – Додати тегу…

4. Вимкнути відображення всіх графіків на панелі: Вигляд – Списки графіків

Завдання

1. Користуючись інструкцією, що додається, побудуйте графіки функцій:

а)

2. Знайдіть точки перетину цих графіків

а) ______________________________
б) ______________________________

3. Визначте проміжок інтегрування

а) __________________
б) __________________

4. Обчисліть площу фігури, обмежену графіками цих функцій.

а) ________________________
________________________
________________________

б) ________________________
________________________
________________________

На цю тему приділяється три уроки, цей урок – другий.

Цілі уроку:

Закріплення та поглиблення знань про певний інтеграл та його додаток до знаходження площі фігур;

Формування умінь щодо застосування знань та способів дій у змінених та нових навчальних ситуаціях; - розвиток інформаційної та комунікативної культури учнів;

Виховання пізнавальної активності, вміння працювати в колективі, завзяття та досягнення мети.

Завдання уроку:

Повторити таблицю та правила знаходження первісних, поняття криволінійної трапеції, алгоритм знаходження площі криволінійної трапеції; - Застосувати наявні знання та вміння для знаходження площ плоских фігур.

Форми організації роботи учнів: робота у групах.

Обладнання та програми, що використовуються: інтерактивна дошка Smart Board, «Жива математика».

Функції програмного забезпечення інтерактивної дошки, що використовуються:

Функція - шторка:

Функція - клонування об'єкта:

Функція – перетягування об'єкта;

Функція – розумне перо.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Урок на тему: «Обчислення площ фігур за допомогою інтегралів»

В 11 класі.

Хід уроку:

1. Організаційний момент ((перевіряється готовність до уроку, оголошується тема і мета уроку, записується число).

Урок проходить під гаслом: Скажи мені, і я забуду, Покажи мені, і я запам'ятаю, Дай мені діяти самому, І я навчуся.

Конфуцій.

1. Етап актуалізації отриманих раніше знань(Мета даного етапу: повторити таблицю та правила знаходження первісних, поняття криволінійної трапеції, алгоритм знаходження площі криволінійної трапеції).

Вчитель: На попередніх уроках ми познайомилися з поняттям первісної, з таблицею та правилами їх знаходження.

Питання 1 : Що називається первісною для функції у = f(х) на деякому інтервалі?Питання 2 : Як задати всі первісні функції у = f(х), якщо F(х) – одна з них?Питання 3: Перерахуйте правила знаходження первісних. Після відповіді учнів відкривається 2 слайд, відсувається шторка, за якою приховані питання для учнів.Завдання 1 : Знайти одну з першорядних функцій. (Учні функцією -перетягування ставлять у відповідність функцію і першорядну).Завдання 2 : Для зазначеної функції знайти одну з первісних, графік якої проходить через цю точку. (Учні на місцях самостійно вирішують, один із учнів перевіряє відповідь, відсуваючи екран).

А) Функції: 2х 5 - 3х 2; 3 cos x - 4 sin x; 3е х + 5 х - 2; е 2х - cos3х; 1/х + 1/ sin 2 х – х.

Первинні: ln | x | - ctg x – x 2/2; 1/2е 2х - 1/3 sin 3x; х 6/3 - х 3; 3 sin x + 4 cos x; 3е х + 5 х/ln5.

Б) Для функції f(х) = 2х + 3 знайти первісну, графік якої проходить через точку М(1; 2).

Питання 4: Яку фігуру називають криволінійною трапецією?Завдання 3: Записати умову у визначенні, записаному на слайді.Завдання 4: Записати формулу Ньютона Лейбніца.

Завдання 5: Обчислити інтеграл. (Учні обчислюють самостійно, з наступною перевіркою). а)х 2 - 2х) dx; б)

Завдання 6: Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = 0, х = е, у = 1/х. (Учні самостійно виконують завдання з подальшою перевіркою, відкриваючи екрани на дошці).

1. Етап формування та відпрацювання умінь та навичок при вирішенні різних завдань на тему «Обчислення площ фігур за допомогою інтегралів»

1.Учні згадують властивості площ

і наводять приклад фігури, площу якої можна обчислити за формулою S =Обчислити площу фігури, обмеженою лініями у = 0, у = х 2 – 4. (Один учень за допомогою функції – розумне перо пише рішення на інтерактивній дошці).

2. Учні обговорюютьплан обчислення площі фігури, обмеженої лініями у = х 2 - 6х +11 і у = х +1. Кожен етап супроводжується відкриттям шторки.

1. Робота у групах. Клас заздалегідь поділений на групи. Три учні працюють біля дошки, а решта учнів за трьома варіантами (групи розбиті за варіантами) на місцях:Обчислити площу фігури, обмеженою лініями:1 варіант - у = (х - 3) 2 , у = 0, х = 1, х = 4. 2 варіант - у = х - 2, у = х 2 - 4х+2. 3 варіант - у = х, у = 5 - х, х = 1, х = 2. Перевірка після відкриття екранів.
2. Робота у групах. Для кожного з наступних 8 слайдів потрібно обчислити площу фігури. Учнів у групах є набір даних малюнків. Учні вибирають формулу, за якою можна знайти площу. Відкривається слайд, праворуч від креслення є формули, на які накладено функцію клонування. Після обговорення у групах, виходять по одному учню від групи та пересувають обрану формулу або пишуть свою, якщо такої немає на дошці. Далі слідує обговорення: - Чому обрано цю формулу? - Чи є ще способи знаходження площі цієї фігури? - Яка з формул найбільш зручна у застосуванні

Домашнє завдання.

Підсумок уроку. Учні відповідають питання: - Що було зроблено під час уроку? - Що нового вони дізналися на уроці? - Як їм працювало у цій групі?

Усна робота 1. Виразіть за допомогою інтегралу площі фігур, зображених на рисунках:

2. Обчисліть інтеграли:

Знайдіть площу фігури:

5) 1/3; ln2 ;√2

Трохи історії

"Інтеграл" придумав Якоб Бернуллі(1690р.)

"відновлювати" від латинського integro

«цілий» від латинського integer

«Примітивна функція»,

від латинського

primitivus- Початковий,

Жозеф Луї Лагранж

Інтеграл у давнину

Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Євдокса (приблизно 370 р. до н. е.), який намагався знайти площі та об'єми, розриваючи їх на безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомий.

Цей метод був підхоплений та розвинений Архімедом , і використовувався для розрахунку площ парабол та наближеного розрахунку площі кола.

Євдокс Кнідський

Ісаак Ньютон (1643-1727)

Найбільш повний виклад диференціального та інтегрального обчислень міститься в

Змінні величини - флюенти (первоподібна чи невизначений інтеграл)

Швидкість зміни флюент – флюксії (похідна)

Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646-1716)

• вперше використаний Лейбніцем наприкінці

Символ утворився з літери

S - скорочення слова

summa(Сума)

Формули для обчислення площ фігур, заштрихованих на малюнках

Алгоритм обчислення площі плоскої фігури :

• За умовою завдання зробити схематичне креслення.
• Уявити потрібну функцію, як суму або різницю площ криволінійних трапецій, вибрати відповідну формулу
• Знайти межі інтегрування (а і b) умови завдання або креслення, якщо вони не задані.
• Обчислити площу кожної криволінійної трапеції та площу шуканої фігури.

З А Д А Ч А

Перед будинком школи вирішено розбити клумбу. Але формою клумба має бути круглої, квадратної чи прямокутної. Вона повинна містити у собі прямі та криві лінії. Нехай вона буде плоскою фігурою, обмеженою лініями

Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.

Обчислимо площу отриманої фігури за формулою:

де f(x)= 6 , а g(x)=4/x +2

Так як за кожен квадратний метр виплачується 50 рублів, то заробіток становитиме:

6,4 * 50 = 320 (рублів).

Домашнє завдання:

1125 Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтегралу Методичні вказівки до виконання самостійних робіт з математики для студентів 1-го курсу факультету СПО Укладачі С.Л. Рибіна, Н.В.Федотова 0 Міністерство освіти і науки РФ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «Воронезький державний архітектурно-будівельний університет» Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтегралу Методичні вказівки до виконання самостійних робіт з математики для студентів 1-го курсу факультету СПО Укладачі С.Л. Рибіна, Н.В.Федотова Воронеж 2015 1 УДК 51:373(07) ББК 22.1я721 Укладачі: Рибіна С.Л., Федотова Н.В. Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтегралу: методичні вказівки до виконання самостійних робіт з математики для студентів 1 курсу СПО/Воронезька ДАСУ; сост.: С.Л. Рибіна, Н.В. Федотова. – Воронеж, 2015. – с. Дано теоретичні відомості щодо обчислення площ плоских фігур за допомогою інтегралу, наведено приклади розв'язання задач, надано завдання для самостійної роботи. Можуть використовуватись для підготовки індивідуальних проектів. Призначені для студентів 1 курсу факультету СПО. Іл. 18. Бібліогр.: 5 назв. УДК 51:373(07) ББК 22.1я721 Друкується за рішенням навчально-методичної ради Воронезького ДАСУ Рецензент – Глазкова Марія Юріївна, канд. фіз.-мат. наук, доцент, викладач кафедри вищої математики Воронезького ДАСУ 2 Вступ Дані методичні вказівки призначені для студентів 1 курсу факультету СПО всіх спеціальностей. У пункті 1 наведено теоретичні відомості щодо обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла, у пункті 2 наведено приклади розв'язання задач, а в пункті 3 запропоновано завдання для самостійної роботи. Загальні положення Самостійна робота студентів – це робота, яка виконується ними за завданням викладача, без його безпосередньої участі (але під керівництвом) у спеціально представлений для цього час. Цілі та завдання самостійної роботи: систематизації та закріплення отриманих знань та практичних умінь та навичок студентів; поглиблення та розширення теоретичних та практичних знань; формування умінь використовувати спеціальну, довідкову літературу, Інтернет; розвитку пізнавальних здібностей та активності студентів, творчої ініціативи, самостійності, відповідальності та організованості; формування самостійності мислення, здібностей до саморозвитку, самовдосконалення та самореалізації; розвитку дослідних знань. забезпечення бази знань для професійної підготовки випускника відповідно до ФГОС СПО; формування та розвиток загальних компетенцій, визначених у ФГОС СПО; підготовка до формування та розвитку професійних компетенцій, що відповідають основним видам професійної діяльності. систематизація, закріплення, поглиблення та розширення отриманих теоретичних знань та практичних умінь студентів; розвиток пізнавальних здібностей та активності студентів: творчої ініціативи, самостійності, відповідальності та організованості; формування самостійності мислення: здатності до саморозвитку, самовдосконалення та самореалізації; оволодіння практичними навичками застосування інформаційно-комунікаційних технологій у професійній діяльності; розвиток дослідних умінь. Критеріями оцінки результатів позааудиторної самостійної роботи студента є рівень освоєння студентом навчального матеріалу; 3 вміння студента використовувати теоретичні знання під час вирішення завдань; обґрунтованість та чіткість викладу відповіді; оформлення матеріалу відповідно до вимог ФГОС. 4 1. Обчислення площ плоских фігур з допомогою інтеграла 1. Довідковий матеріал. 1.1. Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена зверху графіком безперервної та невід'ємна функції y=f(x), знизу відрізком осі Ох, а з боків відрізками прямих х=а, х=b (Рис.1) Мал. 1 Площу криволінійної трапеції можна обчислити за допомогою певного інтегралу: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Нехай функція y=f(x) безперервна на відрізку і на цьому відрізку приймає позитивні значення (рис. 2). Тоді потрібно розбити відрізок на частини, потім обчислити за формулою (1) відповідні до цих частин площі, отримані площі скласти. S = S1 + S2 c S b ф x d x f x d x a (2) c Рис. 2 1.3. Якщо безперервна функція f(x)< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)> g(x) по всьому інтервалі (а; b). В цьому випадку площа фігури обчислюється за формулою y b S = (f (x) g (x)) dx y = f (x) (4) а 1 -1 O -1 b 1 y = g (x) x Рис. 4 1.5. Завдання на обчислення площ плоских постатей можна вирішувати за таким планом: 1) за умовою завдання роблять схематичний креслення; 2) представляють шукану фігуру як суму чи різницю площ криволінійних трапецій. З умови завдання та креслення визначають межі інтегрування для кожної складової криволінійної трапеції; 3) записують кожну функцію у вигляді f x; 4) обчислюють площу кожної криволінійної трапеції та шуканої фігури. 6 2.Приклади розв'язання задач 1. Обчисліть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = х + 3, у = 0, х = 1 і х = 3. Рішення: Намалюємо лінії, задані рівняннями та заштрихуємо криволінійну трапецію, площу якої знаходитимемо. SАВСД = Відповідь: 10. 2. Фігура, обмежена лініями у = -2х + 8, х = -1, у = 0, ділиться лінією у = х2 - 4х + 5 на дві частини. Знайдіть площу кожної частини. Рішення: Розглянемо функцію у = х2 - 4х +5. у = х2 - 4х +5 = (х2 - 4х + 4) - 4 + 5 = (х - 2) 2 + 1, тобто. графіком цієї функції є парабола з вершиною К(2; 1). SАВС = . 7 SАВКМЕ = S1 = SАВКМЕ + SЕМС, S1 = S2 = SАВС – S1, S2 = Відповідь: і = . . 3. Завдання для самостійної роботи Усний тест 1. Яка фігура називається криволінійною трапецією? 2. Які з фігур є криволінійними трапеціями: 3. Як знайти площу криволінійної трапеції? 4. Знайдіть площу заштрихованої фігури: 8 5. Назвіть формулу для обчислення площі зображених фігур: Письмовий тест 1. На якому малюнку зображено фігуру, яка не є криволінійною трапецією? 2. За допомогою формули Ньютона-Лейбніца обчислюють: А. Первоподібну функцію; Б. Площа криволінійної трапеції; В. Інтеграл; Г. Похідну. 3. Знайдіть площу заштрихованої фігури: 9 А. 0; Би. -2; В 1; Г. 2. 4. Знайдіть площу фігури обмеженою віссю Ох та параболою у = 9 – х2 А. 18; Б. 36; Ст 72; Г. Не можна обчислити. 5. Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у = sin x, прямими х = 0, х = 2 та віссю абсцис. А. 0; Би. 2; В 4; Г. Не можна обчислити. Варіант 1 Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: а) у x2, б) у x2 в) у cos х, г) у 1, х3 у 0, х у 0; х, у 0, 0, 4; х х 1, х 0, х 6; 2. 10 Варіант 2 Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: б) у 1 2 x , у 2 x2 2 х, в) у sin х, г) у 1 , х2 а) у у 0, х у 0; 0, х 0, х 3; 3 2, ; х 1. Варіант 3 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у = 2 – х3, у = 1, х = -1, х = 1; б) у = 5 - х2, у = 2х2 + 1, х = 0, х = 1; в) у = 2sin x, х = 0, х = p, у = 0; г) у = 2х - 2, у = 0, х = 3, х = 4. Варіант 4 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у = х2+1, у = 0, х = - 1, х = 2; б) у = 4 - х2 і у = х + 2; в) у = х2 + 2, у = 0, х = - 1, х = 2; г) у = 4 - х2 і у = 2 - х. Варіант 5 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у 7 х, х=3, х=5, у=0; б) у в) у г) у 8, х = - 8, х = - 4, у = 0; х 0,5 х 2 4 х 10, у х 2; х 2 , х 6 , х=-6 і координатними осями. 11 Варіант 6 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями а) у 4 х 2 , у=0; б) у cos х, х, х в) у х 2 8 х 18, у г) у х, у 2, у = 0; 2х 18; 1 х = 4. х Варіант 7 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями а) у х 2 6 х, х = -1, х=3,у=0; б) у = -3х, х = 1, х = 2, у = 0; в) у х 2 10 х 16, у = х +2; г) у 3 х, у = -х +4 та координатними осями. Варіант 8 Обчисліть площу фігури, обмежену лініями а) у sin x , х 3 , х, у=0; б) у х 2 4 х = -1, х = 2, у = 0; в) у х 2 2 х 3, у 3х 1; г) у х 2 , у х 4 2 , у = 0, Варіант 1 1. Обчисліть площу фігури, обмеженою лініями: а) у = х2, х = 1, х = 3, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = - Ï Ï, х = ; 2 2 в) у = 2х2, у = 2х. 2. (додатково) Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у = х2 – 2х + 3, що стосується графіка в його точці з абцисою 2 і прямою х = -1. 12 Варіант 2 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: а) у = х3, х = 1, х = 3, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = 0, х = Ï; 2 в) у = 0,5 х2, у = х. 2. (додатково) Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у =3 + 2х - х2, що стосується графіка в його точці з абцисою 3 і прямою х = 0. Варіант 3 1. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: а) у = х, х = 1, х = 2, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = 3Ï , х = ; 2 2 в) у = х2, у = -х2 + 2. 2. (додатково) Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у = 2х - х2, що стосується графіка в його точці з абцисою 2 і віссю ординат. Варіант 4 1. Обчисліть площу фігури, обмежену лініями: а) у =0,5 х, х = 1, х = 2, у = 0; б) у = 2cos х, у = 0, х = Ï Ï, х = ; 4 2 в) у = 9 - х2, у = 2х + 6. 2. (додатково) Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції у = х2+ 2х, що стосується графіка в його точці з абцисою -2 та віссю ординат. Завдання для роботи в парах: 1. Обчисліть площу заштрихованої фігури 2. Обчисліть площу заштрихованої фігури 13 3. Обчисліть площу заштрихованої фігури 4. Обчисліть площу заштрихованої фігури 14 5. Обчисліть площу заштрихованої фігури 6. Уявіть площу заштрихованої фігури трапецій, обмежених графіками відомих вам ліній. 7. Уявіть площу заштрихованої фігури як суму чи різницю площ криволінійних трапецій, обмежених графіками відомих вам ліній. 15 Бібліографічний список 1. Шаригін, І. Ф. Математика: алгебра та початку математичного аналізу, геометрія. Геометрія. Базовий рівень. 10 – 11 класи: підручник / І.Ф Шаригін. - 2-ге вид., стер. - Москва: Дрофа, 2015. - 238 с. 2. Муравін Г. К. Математика: алгебра та початку математичного аналізу, геометрія. Базовий рівень. 11 клас: підручник / Г. К. Муравін, О. В. Муравіна – 2-ге вид., стер. – Москва: Дрофа, 2015. – 189 с. 3. Муравін Г. К. Математика: алгебра та початку математичного аналізу, геометрія. Базовий рівень. 10 клас: підручник/Г. К. Муравін, Муравіна О.В. - 2-ге вид., стер. - Москва: Дрофа, 2013 - 285 с. 4. Вивчення геометрії у 10-11 класах: Метод. рекомендації до навч.: Кн. для вчителя/С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. – 2-ге вид.– М.: Просвітництво, 2014. – 222 с.: іл. 5. Вивчення алгебри та почав аналізу у 10-11 класах: Кн. для вчителя/Н. Є. Федорова, М. В. Ткачова. – 2-ге вид.– М.: Просвітництво, 2014. – 205 с.: іл. 6. Алгебра та початку аналізу. 10-11 кл.: У двох частинах. Ч. 1: Учеб.для загальноосвіт. установ/Мордкович А.Г. - 5-те вид. - М.: Мнемозіна, 2014. - 375 с.: Іл. Інтернет-ресурси: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 - Корисні посилання на сайти математичної та освітньої спрямованості: Навчальні матеріали, тести 2. http://www.fxyz.ru / - Інтерактивний довідник формул та відомості з алгебри, тригонометрії, геометрії, фізики. 3. http://maths.yfa1.ru – Довідник містить матеріал з математики (арифметика, алгебра, геометрія, тригонометрія). 4. allmatematika.ru - Основні формули з алгебри та геометрії: тотожні перетворення, прогресії, похідна, стереометрія та ін. 5. http://mathsun.ru/ - Історія математики. Біографії великих математиків. 16 Зміст Вступ. .................................................. .................................................. ................................. 3 Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла......... ..................................... 5 1. Довідковий матеріал........ .................................................. ................................................. 5 2. Приклади розв'язання задач............................................. .................................................. ......... 7 3. Завдання для самостійної роботи.................................. ............ .................................. 8 Бібліографічний список............. .................................................. ..................................... 16 Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтегралу Методичні вказівки до виконання самостійних робіт з математики для студентів 1-го курсу факультету СПО Укладачі: Рибіна Світлана Леонідівна Федотова Наталія Вікторівна Підписано до друку __.__. 2015. Формат 60х84 1/16. Уч.-вид. л. 1,1.Умл.-печ. л. 1,2. 394006, Воронеж, вул. 20-річчя Жовтня, 84 17

Тема урока: «Обчислення площ за допомогою інтегралів»

Мета уроку :

виховувати волю і наполегливість задля досягнення кінцевих результатів при знаходженні площі криволінійної трапеції, використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, навчити знаходити площі фігур, використовуючи раніше вивчену теорію. Розвивати навички самоконтролю, грамотно виконувати побудову креслень та використовувати їх для ілюстрації рішення. Узагальнити та систематизувати теоретичний матеріал на тему. Відпрацювати навички обчислення функцій. Відпрацювати навички обчислення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца.

Обладнання: інтерактивна дошка, матеріал роздавальний.

Структура уроку:

1. Орг. Момент

2. Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних знань та умінь

3. Новий матеріал

4. Закріплення (робота у групах) диференційований контроль

5. Будинок. зад. (диференційована)

Методи : пояснювально-ілюстративний, частково-пошуковий, практичний

Тип навчального заняття:інтегрований урок

Форми роботи : фронтальна, групова.

Хід уроку:

IОрг. Момент

IIПеревірка будинку. зад:. Повторити поняття первинної, основні формули. (теоретичний матеріал)

Згадати алгоритм побудови квадратичної функції (фронт. Розмова)

Програмований контроль

Завдання	Відповідь
Варіант 1	Варіант 2
Знайти загальний вигляд первісної функції.
Обчисліть:
Знайти площу фігури, обмеженою лініями:
у = х2, у = 0, х = 2	у = х3, у = 0, х = 2

На столах у кожного кадета лежить ця самостійна робота, яка дає можливість перевірити виконання будинку. роб. Правильна відповідь обводять і здають на перевірку.

IIIТеоретичний матеріал

Завдання 1: Знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої віссю OX, прямими x=a, x=b та графіком функції y=f(x)

y(x)=9-x2, x=-1, x=2

Один кадет викликається до дошки та за допомогою програми Advanced Grapher будує криволінійну трапецію та отриманий результат виводить на інтерактивну дошку. Інші працюють у зошитах і потім звіряються з дошкою

На дошці заштриховують криволінійну трапецію, оформляють рішення

https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" width="476" height="359">

Під час фронтальної бесіди заштрихуємо фігуру, площу якої нам потрібно знайти

Перед кадетами порушується питання: «Отримана постать є криволінійною трапецією? Як ґрунтуючись на раніше отримані знання можна обчислити площу цієї фігури?

Як визначити межі інтегрування для кожної криволінійної трапеції?

Знайдемо точки перетину цих двох функцій:

x2 =2 x- x2 (відповідь учнів)

Висновок: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (на дошці виводиться лише відповідь). Для слабих працюють консультанти.

· Будуємо графіки функцій

Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx

Використовуючи цей же креслення, обчисліть площу заштрихованої фігури:

Кадет на дошці збільшує масштаб креслення для кращої наочності.

Як знайти площу цієї фігури?

Учні роблять висновок, що ця фігура складається з двох криволінійних трапецій.

Дайте запишемо отриманий результат у загальному вигляді (кадети роблять висновок самостійно, вчитель грає лише напрямну роль)

· Будуємо графіки функцій

· Знаходимо абсциси точок перетину графіків функцій f(x)=g(x), x1, x2

Sф=∫(g(x)-f(x))dx

https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" width="396" height="297 src=">Кадети роблять висновок:

IV Закріплення (диф. робота у групах)

1 група: Знайдіть площу фігури, обмеженою лініями

y(x)=x2+2, g(x)=4-x

2 група: Знайдіть площу фігури, обмеженою лініями

y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4

3 група: Знайдіть площу фігури, обмеженою лініями

y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7

На дошці виводиться ключ для самоперевірки:

		ІІІ група

Підбиття підсумків:

· Як обчислюється площа криволінійної трапеції?

· Які із заштрихованих фігур (див. креслення у зошиті) є криволінійними трапеціями?

· Чому інші фігури не можна назвати криволінійними трапеціями? Як знаходиться їхня площа?

V Диф. будинок. Робота

1 група: № 000, № 000 (2), № 000 (1)

2 група: №000(2), №1, №000(4)