Знаходження періоду тригонометричних функцій. Дослідження функції на періодичність

Аргументу x, вона називається періодичної, якщо є число T, що з будь-якого x F(x + T) = F(x). Це число T називається періодом функції.

Періодів може бути кілька. Наприклад, функція F = const для будь-яких значень аргументу приймає одне й те саме значення, тому будь-яке число може вважатися її періодом.

Зазвичай цікавить найменший не рівний нулю період функції. Його для стислості і називають просто періодом.

Класичний приклад періодичних функцій – тригонометричні: синус, косинус та тангенс. Їх період однаковий і дорівнює 2π, тобто sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) тощо. Однак, зрозуміло, тригонометричні функції – не єдині періодичні.

Щодо простих, базових функцій єдиний спосіб встановити їх періодичність чи неперіодичність – обчислення. Для складних функцій вже є кілька простих правил.

Якщо F(x) - з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f(x) = F′(x) - теж періодична функція з періодом T. у цій точці до осі абсцис, а оскільки первісна періодично повторюється, то має повторюватися і похідна. Наприклад, похідна від функції sin(x) дорівнює cos(x) і вона періодична. Беручи похідну cos(x), ви отримаєте –sin(x). Періодичність зберігається постійно.

Однак протилежне не завжди вірне. Так, функція f(x) = const періодична, та її первісна F(x) = const*x + C - немає.

Якщо F(x) - періодична функція з періодом T, то G(x) = a*F(kx + b), де a, b, і k - константи і k не дорівнює нулю - теж періодична функція, і її період дорівнює T/k. Наприклад sin(2x) - періодична функція, та її період дорівнює π. Наочно це можна уявити так: помножуючи x на якесь число, ви стискаєте графік функції по горизонталі саме в стільки разів

Якщо F1(x) і F2(x) - періодичні функції, та його періоди рівні T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій також може бути періодичною. Однак її період не буде простою сумою періодів T1 та T2. Якщо результат розподілу T1/T2 - раціональне число, то сума функцій періодична, та її період дорівнює найменшому загальному кратному (НОК) періодів T1 і T2. Наприклад, якщо період першої функції дорівнює 12, а період другої - 15, то період їх суми дорівнюватиме НОК (12, 15) = 60.

Наочно це можна так: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширин раціонально, то рано чи пізно (а точніше, саме через НОК кроків), вони знову зрівняються, і їхня сума почне новий період.

Однак якщо співвідношення періодів ірраціональне, то сумарна функція не буде періодичною. Наприклад, нехай F1(x) = x mod 2 (залишок від поділу x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут дорівнюватиме 2, а T2 дорівнює 2π. Співвідношення періодів дорівнює π - ірраціональному числу. Отже, функція sin(x) + x mod 2 не є періодичною.

У липні 2020 року NASA запускає експедицію на Марс. Космічний апарат доставить на Марс електронний носій із іменами всіх зареєстрованих учасників експедиції.

Реєстрація учасників відкрита. Отримайте свій квиток на Марс за цим посиланням.

Якщо цей пост вирішив вашу проблему або просто сподобався вам, поділіться посиланням на нього зі своїми друзями у соціальних мережах.

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Черговий переддень Нового Року... морозна погода та сніжинки на шибці... Все це спонукало мене знову написати про... фрактали, і про те, що знає про це Вольфрам Альфа. Із цього приводу є цікава стаття, в якій є приклади двовимірних фрактальних структур. Тут же ми розглянемо складніші приклади тривимірних фракталів.

Фрактал можна наочно уявити (описати), як геометричну фігуру або тіло (маючи на увазі, що й те й інше є безліч, в даному випадку, безліч точок), деталі якої мають таку форму, як і сама вихідна фігура. Тобто це самоподібна структура, розглядаючи деталі якої при збільшенні, ми бачитимемо ту саму форму, що і без збільшення. Тоді як у випадку звичайної геометричної фігури (не фрактала), при збільшенні ми побачимо деталі, які мають простішу форму, ніж вихідна фігура. Наприклад, при досить великому збільшенні частина еліпса виглядає як відрізок прямий. З фракталами такого не відбувається: за будь-якого їх збільшення ми знову побачимо ту ж саму складну форму, яка з кожним збільшенням повторюватиметься знову і знову.

Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot), основоположник науки про фрактал, у своїй статті Фрактали і мистецтво в ім'я науки написав: "Фрактали - це геометричні форми, які однаково складні у своїх деталях, як і у своїй загальній формі. Тобто якщо частина фракталу буде збільшена до розміру цілого, вона виглядатиме, як ціле, або точно, або, можливо, з невеликою деформацією".

>> Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

§ 11. Періодичність функцій у = sin х, у = cos х

У попередніх параграфах ми використали сім властивостей функцій: область визначення, парність або непарність, монотонність, обмеженість, найбільше та найменше значення, безперервність, область значень функції. Використовували ми ці властивості або для того, щоб побудувати графік функції (так було, наприклад, § 9), або для того, щоб прочитати побудований графік (так було, наприклад, § 10). Тепер настав сприятливий момент для введення ще однієї (восьмої) властивості функцій, яка чудово проглядається на побудованих вище графікахфункцій у = sin х(див. рис. 37), у=соs х(див. рис. 41).

Визначення. Функцію називають періодичною, якщо існує таке відмінне від нуля число T, що для будь-якого х з множин виконується подвійне рівність :

Число Т, що відповідає зазначеній умові, називають періодом функції у = f(х).
Звідси випливає, що оскільки для будь-якого х справедливі рівності:

то функції у = sin х, у = соs х є періодичними і число 2 пслугує періодом і тієї, і іншої функції.
Періодичність функції - і є обіцяне восьме властивість функцій.

А тепер подивіться графік функції у = sin х (рис. 37). Щоб побудувати синусоїду, достатньо побудувати одну її хвилю (на відрізку, а потім зрушити цю хвилю по осі х на У результаті за допомогою однієї хвилі ми побудуємо весь графік.

Подивимося з цього погляду на графік функції у = соs х (рис. 41). Бачимо, що й тут для побудови графіка достатньо спочатку збудувати одну хвилю (наприклад, на відрізку

А потім зрушити її по осі х на
Узагальнюючи, робимо наступний висновок.

Якщо функція у = f(х) має період Т, то для побудови графіка функції потрібно спочатку побудувати гілку (хвилю, частину) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше беруть проміжок з кінцями в точках, а потім зрушити цю гілку по осі х вправо і ліворуч на Т, 2Т, ЗТ тощо.
У періодичної функції нескінченно багато періодів: якщо Т – період, то і 2Т – період, і ЗТ – період, і –Т – період; взагалі періодом є будь-яке число виду KТ, де до = ±1, ±2, ± 3... Зазвичай намагаються, якщо можливо, виділити найменший позитивний період, його називають основним періодом.
Отже, будь-яке число виду 2пк, де до = ±1, ± 2, ± 3, є періодом функцій у = sinп х, у = соs х; 2п-основний період і тієї, і іншої функції.

приклад. Знайти основний період функції:

а) Нехай Т – основний період функції у = sin х. Покладемо

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність Але, оскільки йдеться про відшукання основного періоду, отримуємо
б) Нехай Т - основний період функції у = 0,5х. Покладемо f(х) = 0,5х. Тоді f(х + Т) = 0,5 (х + Т) = 0,5х + 0,5 Т).

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність соs (0,5х + 0,5Т)=соs 0,5х.

Значить, 0,5 т = 2пп. Але, оскільки йдеться про відшукання основного періоду, отримуємо 0.5Т = 2 л, Т = 4л.

Узагальненням результатів, отриманих у прикладі, є таке твердження: основний період функції

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Зміст урокуконспект уроку опорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практиказавдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстраціїаудіо-, відеокліпи та мультимедіа фотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповненняреферати статті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручнику оновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителівідеальний урок календарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки