Burchaklar turlari. Ikki chiziqning parallellik belgilari

Burchaklar.

Asosiy tushunchalar.

Burchak bir nuqtadan chiqadigan ikkita nurdan hosil bo'lgan figuradir.

Yuqori burchak- bu burchakni tashkil etuvchi ikkita nur paydo bo'ladigan nuqta.

Bissektrisa- Bu burchakning yuqori qismidan chiqadigan va burchakni yarmiga bo'lgan nurdir.

To'g'ri burchak- tomonlari bir tekislikda yotadigan burchak; 180 ga teng? va to'g'ri.

To'g'ri burchak- bu ochilgan burchakning yarmiga teng burchak; 90 ga teng?

O'tkir burchak to'g'ri burchakdan kichik bo'lgan burchakdir.

O'tkir burchak- bu to'g'ri burchakdan kattaroq, lekin to'g'ri burchakdan kichik burchak.

Burchak tekislikni ikki qismga ajratadi. Har bir qism chaqiriladi tekis burchak.

Umumiy tomonlari bo'lgan tekis burchaklar deyiladi qo'shimcha.

Agar tekis burchak yarim tekislikning bir qismi bo'lsa, uning daraja o'lchovi bir xil tomonlari bo'lgan oddiy burchakning daraja o'lchovi deb ataladi.

Agar tekis burchakda yarim tekislik bo'lsa, uning daraja o'lchovi 360 º - a ga teng bo'ladi, bu erda a qo'shimcha tekislik burchagining daraja o'lchovidir.

Teng burchaklar.

Bular ustun qo'yilganda bir-biriga to'g'ri keladigan burchaklardir.

Qo'shni burchaklar.

Ikki burchak deyiladi qo'shni, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va bu burchaklarning boshqa tomonlari qo'shimcha yarim chiziqlar bo'lsa.

Rasmdagi burchaklar (reklama) Va (cd) qo'shni. Ularning bir tomoni bor d umumiy va tomonlar a Va c- qo'shimcha yarim tekis chiziqlar.

Teorema:

Qo'shni burchaklar yig'indisi 180º ga teng.

Teoremadan kelib chiqadiki:

Ikki burchak teng bo'lsa, ularning qo'shni burchaklari teng bo'ladi.

Agar burchak aylantirilmasa, uning daraja o'lchovi 180º dan kam bo'ladi.

To'g'ri burchakka qo'shni burchak to'g'ri burchakdir.

Vertikal burchaklar.

Ikki burchak deyiladi vertikal, agar bir burchakning tomonlari ikkinchisining tomonlarini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa. Ular ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasidan hosil bo'ladi va qo'shni emas, ularning umumiy cho'qqisi va bir xil daraja o'lchovi bor.

Rasmda burchaklar (A 1 B 1) va (A 2 B 2) vertikaldir. Ikkinchi burchakning A 2 va B 2 tomonlari birinchi burchakning A 1 va B 1 tomonlarini to'ldiruvchi yarim to'g'ri chiziqlardir.

Teorema:

Vertikal burchaklar teng.

Markaziy burchak.

Markaziy burchak aylanada - markazida tepasi bo'lgan tekis burchak (1-rasm).

Aylananing tekis burchak ichida joylashgan qismi deyiladi aylana yoyi, bu markaziy burchakka mos keladi (1-rasmda AB yoyi aylananing yoyi).

Daraja o'lchovi aylana yoyi mos keladigan markaziy burchakning daraja o'lchovi deb ataladi.

Aylana ichiga chizilgan burchaklar.

Cho'qqisi aylana ustida joylashgan va tomonlari shu aylana bilan kesishgan burchak deyiladi doira ichida yozilgan(2-rasm).

Xususiyatlari:

Ikki to'g'ri chiziqning uchinchisi bilan kesishmasidagi burchaklar.

Chiziqlar kesishganda a Va b sekant c sakkizta burchak hosil bo'lib, ular rasmda raqamlar bilan ko'rsatilgan. Ushbu burchaklarning ba'zi juftlari maxsus nomlarga ega:
mos keladigan burchaklar: 1 va 5, 4 va 8, 2 va 6, 3 va 7;

ko'ndalang burchaklar: 3 va 5, 4 va 6;
bir tomonlama burchaklar: 4 va 5, 3 va 6.

Har bir burchak o'lchamiga qarab o'z nomiga ega:

Burchak turi	Hajmi darajalarda	Misol
Achchiq	90° dan kam
Streyt	90 ° ga teng. Chizmada to'g'ri burchak odatda burchakning bir tomonidan boshqasiga chizilgan belgi bilan belgilanadi.
To'mtoq	90 ° dan ortiq, lekin 180 ° dan kam
Kengaytirilgan	180 ° ga teng To'g'ri burchak ikki to'g'ri burchakning yig'indisiga teng, to'g'ri burchak esa to'g'ri burchakning yarmi.
Qavariq	180 ° dan ortiq, lekin 360 ° dan kam
Toʻliq	360 ° ga teng

Ikki burchak deyiladi qo'shni, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va qolgan ikki tomoni to'g'ri chiziq hosil qilsa:

Burchaklar MOP Va PON qo'shni, nurdan beri OP- umumiy tomon va boshqa ikki tomon - OM Va ON to'g'ri chiziq hosil qiling.

Qo'shni burchaklarning umumiy tomoni deyiladi to'g'riga qiya, boshqa ikki tomoni yotadigan, faqat qo'shni burchaklar bir-biriga teng bo'lmagan holatda. Agar qo'shni burchaklar teng bo'lsa, ularning umumiy tomoni bo'ladi perpendikulyar.

Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng.

Ikki burchak deyiladi vertikal, agar bir burchakning tomonlari boshqa burchakning tomonlarini toʻgʻri chiziqlarga toʻldirsa:

1 va 3 burchaklar, shuningdek, 2 va 4 burchaklar vertikaldir.

Vertikal burchaklar teng.

Vertikal burchaklar teng ekanligini isbotlaylik:

∠1 va ∠2 yig'indisi to'g'ri burchakdir. Va ∠3 va ∠2 yig'indisi to'g'ri burchakdir. Shunday qilib, bu ikki miqdor tengdir:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Ushbu tenglikda chap va o'ngda bir xil atama mavjud - ∠2. Chap va o'ngdagi bu atama o'tkazib yuborilsa, tenglik buzilmaydi. Keyin olamiz.

Savol 1. Qanday burchaklar qo'shni deyiladi?
Javob. Ikki burchak qo'shni deyiladi, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va bu burchaklarning boshqa tomonlari bir-birini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa.
31-rasmda burchaklar (a 1 b) va (a 2 b) yonma-yon joylashgan. Ularning umumiy b tomoni bor va a 1 va 2 tomonlari qo'shimcha yarim chiziqlardir.

2-savol. Qo‘shni burchaklar yig‘indisi 180° ekanligini isbotlang.
Javob. 2.1 teorema. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng.
Isbot. Burchak (a 1 b) va burchak (a 2 b) qo'shni burchaklar berilsin (31-rasmga qarang). B nuri to'g'ri burchakning a 1 va a 2 tomonlari orasidan o'tadi. Shuning uchun (a 1 b) va (a 2 b) burchaklarning yig'indisi ochilgan burchakka, ya'ni 180 ° ga teng. Q.E.D.

3-savol. Ikki burchak teng bo'lsa, ularning qo'shni burchaklari ham teng ekanligini isbotlang.
Javob.

Teoremadan 2.1 Bundan kelib chiqadiki, agar ikkita burchak teng bo'lsa, ularning qo'shni burchaklari teng bo'ladi.
Aytaylik, (a 1 b) va (c 1 d) burchaklar teng. Burchaklar (a 2 b) va (c 2 d) ham teng ekanligini isbotlashimiz kerak.
Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng. Bundan kelib chiqadiki, a 1 b + a 2 b = 180 ° va c 1 d + c 2 d = 180 °. Demak, a 2 b = 180° - a 1 b va c 2 d = 180° - c 1 d. Burchaklar (a 1 b) va (c 1 d) teng bo'lgani uchun a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d ekanligini olamiz. Teng belgining tranzitivlik xususiyatidan a 2 b = c 2 d kelib chiqadi. Q.E.D.

4-savol. Qaysi burchak to'g'ri (o'tkir, o'tmas) deb ataladi?
Javob. 90 ° ga teng burchak to'g'ri burchak deb ataladi.
90° dan kichik burchakka oʻtkir burchak deyiladi.
90° dan katta va 180° dan kichik burchak burchak deb ataladi.

5-savol. To'g'ri burchakka qo'shni burchak to'g'ri burchak ekanligini isbotlang.
Javob. Qo'shni burchaklar yig'indisi haqidagi teoremadan to'g'ri burchakka qo'shni burchak to'g'ri burchak ekanligi kelib chiqadi: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °.

6-savol. Qanday burchaklar vertikal deyiladi?
Javob. Ikki burchak vertikal deyiladi, agar bir burchakning tomonlari ikkinchisining tomonlarini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa.

7-savol. Vertikal burchaklar teng ekanligini isbotlang.
Javob. 2.2 teorema. Vertikal burchaklar teng.
Isbot. Berilgan vertikal burchaklar (a 1 b 1) va (a 2 b 2) bo'lsin (34-rasm). Burchak (a 1 b 2) burchakka (a 1 b 1) va burchakka (a 2 b 2) ulashgan. Bu erdan, qo'shni burchaklar yig'indisi haqidagi teoremadan foydalanib, biz burchaklarning har biri (a 1 b 1) va (a 2 b 2) burchakni (a 1 b 2) 180 ° ga to'ldiradi, degan xulosaga kelamiz. burchaklar (a 1 b 1) va (a 2 b 2) teng. Q.E.D.

8-savol. Agar ikkita chiziq kesishganda, burchaklardan biri to'g'ri bo'lsa, qolgan uchta burchak ham to'g'ri ekanligini isbotlang.
Javob. Faraz qilaylik, AB va CD chiziqlar bir-birini O nuqtada kesishdi. Faraz qilaylik, AOD burchagi 90°. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° bo'lganligi sababli, biz AOC = 180 ° - AOD = 180 ° - 90 ° = 90 ° ni olamiz. COB burchagi AOD burchagiga vertikal, shuning uchun ular tengdir. Ya'ni, COB burchagi = 90 °. COA burchagi BOD burchagiga vertikal, shuning uchun ular tengdir. Ya'ni, BOD burchagi = 90 °. Shunday qilib, barcha burchaklar 90 ° ga teng, ya'ni ularning barchasi to'g'ri burchaklardir. Q.E.D.

9-savol. Qaysi chiziqlar perpendikulyar deyiladi? Chiziqlarning perpendikulyarligini ko'rsatish uchun qanday belgi qo'llaniladi?
Javob. Ikki chiziq to'g'ri burchak ostida kesishsa, perpendikulyar deyiladi.
Chiziqlarning perpendikulyarligi \(\perp\) belgisi bilan belgilanadi. \(a\perp b\) yozuvida shunday deyiladi: “a chiziq b chiziqqa perpendikulyar.”

10-savol. Chiziqning istalgan nuqtasi orqali unga perpendikulyar va faqat bitta chiziq chizish mumkinligini isbotlang.
Javob. 2.3 teorema. Har bir chiziq orqali siz unga perpendikulyar chiziq chizishingiz mumkin va faqat bitta.
Isbot. Berilgan chiziq a va uning ustidagi nuqta A bo'lsin. Boshlanish nuqtasi A bo'lgan a to'g'ri chiziqning yarim chiziqlaridan birini 1 bilan belgilaymiz (38-rasm). a 1 yarim chiziqdan 90° ga teng burchakni (a 1 b 1) ayiraylik. U holda b 1 nurni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'ladi.

Faraz qilaylik, A nuqtadan o'tuvchi va a chiziqqa perpendikulyar bo'lgan yana bir to'g'ri chiziq bor. Bu chiziqning b 1 nur bilan bir yarim tekislikda yotgan yarim chizig'ini c 1 bilan belgilaymiz.
Burchaklar (a 1 b 1) va (a 1 c 1), har biri 90 ° ga teng, a 1 yarim chiziqdan bir yarim tekislikda joylashgan. Lekin yarim chiziqdan berilgan yarim tekislikka 90° ga teng faqat bitta burchak qo'yish mumkin. Demak, A nuqtadan o'tuvchi va a chiziqqa perpendikulyar boshqa chiziq bo'lishi mumkin emas. Teorema isbotlangan.

11-savol. Chiziqga perpendikulyar nima?
Javob. Berilgan chiziqqa perpendikulyar deyilgan chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan, uning uchlaridan biri ularning kesishish nuqtasida joylashgan bo‘lgan qismdir. Segmentning bu oxiri deyiladi asos perpendikulyar.

12-savol. Qarama-qarshilik bilan dalil nimalardan iboratligini tushuntiring.
Javob. 2.3-teoremada biz ishlatgan isbotlash usuli qarama-qarshilik bilan isbotlash deb ataladi. Bu isbotlash usuli birinchi navbatda teoremada aytilgan narsaga qarama-qarshi taxmin qilishdan iborat. Keyin, aksioma va isbotlangan teoremalarga tayanib, fikr yuritib, biz teorema shartlariga yoki aksiomalardan biriga yoki ilgari isbotlangan teoremaga zid bo'lgan xulosaga kelamiz. Shu asosda, biz taxminimiz noto'g'ri bo'lgan va shuning uchun teorema bayonoti to'g'ri degan xulosaga kelamiz.

13-savol. Burchakning bissektrisasi nima?
Javob. Burchakning bissektrisasi - bu burchakning tepasidan chiqadigan, uning tomonlari orasidan o'tadigan va burchakni yarmiga bo'ladigan nur.

Ikki chiziqning parallellik belgilari

Teorema 1. Agar ikkita chiziq sekant bilan kesishganda:

kesishgan burchaklar teng yoki

mos burchaklar teng yoki

bir tomonlama burchaklar yig'indisi 180 °, keyin

chiziqlar parallel(1-rasm).

Isbot. Biz 1-holati isbotlash bilan cheklanamiz.

Kesuvchi a va b to'g'rilar ko'ndalang bo'lsin va AB burchaklari teng bo'lsin. Masalan, ∠ 4 = ∠ 6. a || ekanligini isbotlaylik b.

Faraz qilaylik, a va b chiziqlar parallel emas. Keyin ular M nuqtada kesishadi va shuning uchun 4 yoki 6 burchaklardan biri ABM uchburchakning tashqi burchagi bo'ladi. Aniqlik uchun ABM uchburchakning tashqi burchagi ∠ 4, ichki burchagi ∠ 6 bo'lsin. Uchburchakning tashqi burchagi haqidagi teoremadan kelib chiqadiki, ∠ 4 ∠ 6 dan katta va bu shartga ziddir, ya’ni a va 6 chiziqlar kesishishi mumkin emas, shuning uchun ular parallel.

Xulosa 1. Bir tekislikka perpendikulyar bo'lgan ikki xil to'g'ri chiziq parallel(2-rasm).

Izoh. Biz hozirgina 1-teoremaning 1-holatini isbotlagan usulimiz qarama-qarshilik yoki absurdlikka qisqartirish orqali isbotlash usuli deb ataladi. Bu usul o'zining birinchi nomini oldi, chunki argumentning boshida isbotlanishi kerak bo'lgan narsaga zid (teskari) taxmin qilingan. Bu bema'nilikka olib borish deb ataladi, chunki faraz asosida fikr yuritib, biz bema'ni xulosaga kelamiz (absurdga). Bunday xulosani qabul qilish bizni boshida qilingan taxminni rad etishga va isbotlanishi kerak bo'lgan taxminni qabul qilishga majbur qiladi.

Vazifa 1. Berilgan M nuqtadan o‘tuvchi va berilgan a to‘g‘riga parallel, M nuqtadan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziqni quring.

Yechim. M nuqta orqali a to'g'ri chiziqqa perpendikulyar p to'g'ri chiziq o'tkazamiz (3-rasm).

Keyin M nuqta orqali p chiziqqa perpendikulyar b chiziq o'tkazamiz. 1-teoremaning xulosasiga ko'ra b chiziq a chiziqqa parallel.

Ko'rib chiqilgan muammodan muhim xulosa kelib chiqadi:
berilgan chiziqda yotmagan nuqta orqali har doim berilgan chiziqqa parallel chiziq chizish mumkin.

Parallel chiziqlarning asosiy xossasi quyidagicha.

Parallel chiziqlar aksiomasi. Berilgan toʻgʻrida yotmaydigan berilgan nuqta orqali berilgan nuqtaga parallel boʻlgan faqat bitta chiziq oʻtadi.

Keling, bu aksiomadan kelib chiqadigan parallel chiziqlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

1) Agar chiziq ikkita parallel toʻgʻri chiziqdan birini kesib oʻtsa, u boshqasini ham kesib oʻtadi (4-rasm).

2) Agar ikki xil chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular parallel bo'ladi (5-rasm).

Quyidagi teorema ham to'g'ri.

Teorema 2. Agar ikkita parallel chiziq ko‘ndalang chiziq bilan kesishsa, u holda:

ko'ndalang burchaklar teng;

mos burchaklar teng;

bir tomonlama burchaklar yigʻindisi 180° ga teng.

Xulosa 2. Agar chiziq ikkita parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi(2-rasmga qarang).

Izoh. 2-teorema 1-teoremaga teskari deyiladi. 1-teoremaning xulosasi 2-teoremaning sharti. 1-teoremaning sharti esa 2-teoremaning xulosasidir. Har bir teorema teskari emas, yaʼni berilgan teorema rost bo'lsa, teskari teorema noto'g'ri bo'lishi mumkin.

Buni vertikal burchaklar haqidagi teorema misolidan foydalanib tushuntiramiz. Bu teoremani quyidagicha shakllantirish mumkin: agar ikkita burchak vertikal bo'lsa, ular tengdir. Qarama-qarshi teorema quyidagicha bo'ladi: agar ikkita burchak teng bo'lsa, ular vertikaldir. Va bu, albatta, to'g'ri emas. Ikki teng burchak vertikal bo'lishi shart emas.

1-misol. Ikki parallel chiziq uchdan biri bilan kesishadi. Ma'lumki, ikkita ichki bir tomonlama burchaklar orasidagi farq 30 ° ga teng. Bu burchaklarni toping.

Yechim. 6-rasm shartga mos kelsin.