Kuchli funksiya, uning xossalari va grafigi Ko`rgazmali material Dars-ma'ruza Funksiya haqida tushuncha. Funktsiya xususiyatlari

Oxirgi darsda biz “Ko‘rsatkich tushunchasi” mavzusida bilimlarimizni takrorladik va umumlashtirdik.

Shuni esda tutaylikki, agar - pe ku ga bo'linganda oddiy kasr bo'lsa va ku birga teng bo'lmasa va a nodan katta yoki nolga teng bo'lsa, u holda pening ku ga bo'lingan kuchiga a ifodasi bilan biz ning ildizini tushunamiz. a ning ku darajasi pe kuchiga.

Misol uchun, bir raqam uch nuqtaning kuchiga uch yettinchi bir nuqta uch kubikning ettinchi ildizi sifatida yozilishi mumkin.

Formaning funktsiyalari, bu erda k har qanday haqiqiy son, odatda kuch funktsiyalari deb ataladi.

Bugun biz k - ratsional (kasr) ko'rsatkich bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz.

7-9-sinflar uchun algebra kursida siz natural ko‘rsatkichli darajali funksiyalarning xossalari va grafiklarini o‘rgangansiz. Funksiya (k-har qanday haqiqiy son), quvvat funksiyasi.

k=n (n∈N) uchun - natural darajali quvvat funksiyasi.

Keling, bunday funktsiyalarning grafiklarini eslaylik.

Funktsiyaning grafigi yoki y=x (y birinchi darajaga x ga teng yoki y x ga teng) to'g'ri chiziqdir.

Funktsiyaning grafigi (E teng x kvadrat) paraboladir.

Funktsiyaning grafigi (E X kubga teng) kubik paraboladir.

Quvvat funksiyasining grafigi (y ga ka ning kuchiga teng) juft k bo'lgan holatda parabolaga o'xshaydi. Rasmda k soni oltiga teng bo'lgan quvvat funksiyasining grafigi ko'rsatilgan.

Toq k holatidagi daraja funksiyasining grafigi (y ga ka kuchiga teng) kubik parabolaga o'xshaydi. Rasmda k yetti ga teng bo'lgan quvvat funksiyasining grafigi ko'rsatilgan.

Agar daraja funksiyasining ko‘rsatkichi manfiy butun songa ega bo‘lsa, u holda ko‘rinishdagi funksiyani olamiz: y teng x darajaga minus en yoki y birga bo‘lingan x n darajaga teng.

Agar n juft son bo'lsa, u holda grafik rasmda ko'rsatilgandek ko'rinadi.

y=x-2 yoki y= funksiya qayerda ko'rsatilgan?

Agar n toq son bo'lsa, grafik quyidagicha ko'rinadi.

Chizmada y=x-3, yoki y= funksiyasi ko‘rsatilgan

Agar daraja funksiyasining ko'rsatkichi nolga teng bo'lsa, u holda funksiya quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Bunday funktsiyaning grafigi birinchi ordinatadan o'tuvchi va abscissa o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqdir.

k=-n (n∈Z) uchun manfiy butun ko‘rsatkichli quvvat funksiyasi.

Quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik (E teng x quvvatga k), bu erda k manfiy yoki musbat kasr sondir.

Misol tariqasida quvvat funksiyasining grafigini tuzamiz (E ikki nuqtaning kuchiga x ga teng).

Uning ta'rif sohasi (ya'ni, x tomonidan qabul qilingan barcha qiymatlar) nol nuqtadan boshlangan nurdir.

Ushbu ta'rif sohasida biz funksiyalar grafiklarini tuzamiz (y ga teng x kvadrat) - bu och yashil rang bilan ajratilgan parabola shoxchasi va (y x kubikga teng) - ajratilgan kubik parabolaning novdasi. quyuq yashil rangda.

(0;1) oraliqda kubik parabola parabola ostida, ochiq nurda (1;+) yuqorida joylashganligini tekshirish oson.

(0;0) va nuqtalardan (y teng x kvadrat), (y teng x ikki uch nuqtaning kuchiga teng) va (y teng x kub) funksiyalarning grafiklari o'tishini unutmang. (1;1).

X argumentining boshqa qiymatlari uchun funktsiya grafigi (y ikki nuqtaning kuchiga x ga teng) (y ga teng x kvadrat) va (y ga teng) funktsiyalar grafiklari orasida joylashgan. x kub).

Vaziyat har qanday daraja funksiyasi bilan o'xshashdir, bu erda noto'g'ri kasr, ya'ni m soni n maxrajidan katta. Bu funktsiyaning grafigi parabolaning shoxiga o'xshash egri chiziqdir.

Funktsiya indeksi k qanchalik baland bo'lsa, filial shunchalik "tik" yo'naltiriladi.

Rasmda y funksiyaning grafigi yetti soniya kuchiga teng x ga teng.

Shunday qilib, igr quvvat funksiyasining quyidagi xossalarini ajratib ko'rsatishimiz mumkin, bunda m soni n maxrajidan katta bo'lgan en ga bo'lingan em quvvatiga x teng.

1. Ta'rif sohasi x ning noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan qiymatlari.

4.X o'qi bilan pastdan cheklangan, yuqoridan cheklanmagan.

5.Funksiya eng kichik nol qiymatini oladi; eng muhimi emas.

8. Qavariq pastga.

Funktsiyaning grafigini tuzamiz, bu erda to'g'ri kasr (hisob maxrajdan kichik) va 0< <1.

Funktsiyaning avval muhokama qilingan xossalari va grafigi (y - x ning n-chi ildiziga teng) yoki (y - x ning n ga bo'lingan kuchiga teng) funktsiyaga ham tegishli, bu erda to'g'ri kasr va 0< <1.

Keling, ushbu xususiyatlarni eslaylik:

1. Ta'rif sohasi x ning noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan barcha qiymatlari.

2. Funksiya juft ham, toq ham emas.

3. Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

5. Funksiya eng kichik nol qiymatini oladi; eng muhimi emas.

6. Funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab uzluksizdir.

7. Funktsiya diapazoni o'yinning noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan qiymatlari hisoblanadi.

8. Qavariq yuqoriga. funksiya, bu erda to'g'ri kasr (hisob maxrajdan kichik) va 0<

2. Na juft, na toq.

3. tomonidan ortadi.

4. Pastdan x o'qi bilan chegaralangan, yuqoridan cheklanmagan.

5. ynaim=0; eng muhimi emas.

6. Uzluksiz.

8. Qavariq yuqoriga.

Quvvat funksiyasining quyidagi turini - ko'rinishdagi funksiyani ko'rib chiqamiz: y teng x ga teng kuch minus em en ga bo'linadi.

Ilgari biz manfiy butun ko'rsatkichli x ga teng bo'lgan quvvat funksiyasini minus k quvvatga keltirdik, bu erda k - natural son.

Agar x noldan katta bo'lsa, bu funksiyaning grafigi giperbolaning shoxiga o'xshaydi.

Xuddi shunday manfiy ratsional (kasr) ko'rsatkichli har qanday daraja funksiyasining grafigi tuziladi.

Shuni yodda tutish kerakki, bunday funktsiyaning grafigi ikkita asimptotaga ega: gorizontal - y nolga teng va vertikal asimptota - x nolga teng.

Demak, igr quvvat funksiyasi x ga teng em kuchini minus en ga bo'lish quyidagi xususiyatlarga ega (va x noldan katta, chunki manfiy ko'rsatkichli manfiy asosda ifodaning kuchi emas. ma'no bermoq):

1) Ta'rif sohasi noldan cheksizgacha bo'lgan ochiq nurdir.

2) Funksiya juft ham, toq ham emas.

3) Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi.

4) Pastki qismi x o'qi bilan cheklangan, yuqori qismi cheklanmagan.

5) Funksiya minimal yoki maksimal qiymatga ega emas.

6) Funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab uzluksizdir.

7) Funktsiya diapazoni - bu o'yinning noldan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan qiymatlari.

8) Qavariq pastga.

Quvvat funksiyasining xossalari (x 0):

2). Na juft, na toq.

3). Kamaymoqda.

4). Pastki qismi x o'qi bilan cheklangan, yuqori qismi cheklanmagan.

5). Eng kam yoki eng katta qiymatga ega emas.

6). uchun uzluksiz

8). Qavariq pastga.

Siz allaqachon bilasizki, yrek ko'rinishdagi daraja funksiyasining hosilasi x enning darajasiga teng, bu erda n - natural son, n marta x n ning minus bir darajasiga teng.

Xuddi shunday, siz ratsional ko'rsatkich bilan quvvat funktsiyasining hosilasini hisoblashingiz mumkin.

Shunday qilib, quyidagi teorema to'g'ri bo'ladi:

Agar x noldan katta bo'lsa va r ixtiyoriy ratsional son bo'lsa, u holda y daraja funktsiyasining hosilasi x r darajasiga teng bo'ladi va quyidagi formula bilan hisoblanadi: x ning r darajasiga teng. r marta x r minus birning kuchiga.

Masalan, a ning minus uchinchi darajaga hosilasi minus uchga va minus to'rtning darajasiga teng.

X ning minus uchdan ikkisi darajasiga hosilasi minus uchdan ikkisi x ning minus uchdan ikki qismiga teng.

Bu erda minus bir uchdan uchning noto'g'ri kasr sifatida ifodalangan, keyin kasrlar minus uchdan ikki va minus uch uch qo'shilgan.

Teorema: agar x>0, r-ratsional son, u holda

r bittaga teng bo'lmaganda quvvat funksiyasini integrallash uchun mos formulani olish qiyin emas. Demak, x ning r darajasiga bo'lgan noaniq integrali x ning r kuchiga plyus birga bo'lingan r plyus bir plyus doimiy ce doimiysiga teng.

Funksiyaning x ga teng r plyus bir darajasiga, r plyus bir ga bo'linishi x ga teng funktsiyaning r kuchiga qarshi hosilasi ekanligini tushunish qiyin emas. Quvvat funksiyasini integratsiyalash formulasi:

Funksiya funktsiyaga qarshi hosiladir.

Olingan bilimlarni daraja funksiyasining grafigini qurishda qo‘llashni ko‘rib chiqamiz.

y funksiyaning grafigini tuzing, x ga va ikkining yarmining darajasiga teng.

1. X funksiyaning yarmining darajasiga grafigini tuzamiz. Bu to'g'ri kasr (hisob maxrajdan kichik) va 0 bo'lgan shaklning funktsiyasidir.< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Ko'rinib turibdiki, y funksiyaning grafigi x plyus ikkining yarmining darajasiga teng bo'lgan ikki birlik chapga x o'qiga nisbatan parallel ko'chirish yordamida tuziladi. Rasmda grafik yashil rang bilan ajratilgan.

Funksiyaning grafigini tuzing

1. - shaklning funksiyasi uchun maxsus holat, bu erda - to'g'ri kasr (hisob maxrajdan kichik) va 0< <1.

2. Grafik X o'qi bo'ylab 2 birlik chapga parallel ko'chirish yo'li bilan olingan.

Dars rejasi:

“Quvvat funksiyasi, uning xossalari va grafigi”

To'liq ism Stadnik Elena Ivanovna

Ish joyi Sankt-Peterburg, Pushkinskiy tumani GBOU 606-sonli maktab

ingliz tilini chuqur o'rganish.

Lavozim matematika o'qituvchilari

Element Matematiklar

Sinf 10

Mavzu va mavzudagi raqam"Quvvat funktsiyasi, uning xususiyatlari va grafiklari"

Mavzu bo'yicha 2 ta dars (jami 2 ta dars)

Asosiy darslik Sh.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin, N.E.

"Algebra va tahlilning boshlanishi 10-11", ta'lim muassasalari uchun darslik Rossiya Federatsiyasi Ta'lim vazirligi tomonidan tavsiya etilgan: 9-nashr Moskva ta'limi 2007 yil.

Darsning maqsadi: Standart va nostandart algebraik masalalarni yechishda ushbu mavzu bo'yicha bilimlarni qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish. Matematika kursida turli mavzulardagi bilimlarni birlashtirish qobiliyatini shakllantirish

Vazifalar:

Ta'lim: (kognitiv UUDni shakllantirish)

sonlarni solishtirish, tengsizliklarni grafik va (yoki) daraja funksiyalarining xossalari yordamida yecha olish

Ta'lim: (kommunikativ va shaxsiy ta'lim ko'nikmalarini shakllantirish)

fanga barqaror qiziqishni rivojlantirish, talabalarning kommunikativ kompetentsiyasini shakllantirish, mas'uliyat va aniqlikni tarbiyalash.

Dars turi: bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish

Usullari: munozara, kuzatish, taqqoslash, tajriba.

Uskunalar: doska, multimedia jihozlari, interfaol doska, kompyuter, o‘quv tarqatma materiallar, 126(2;3) uchun grafikli plakat

Darslar davomida:

1. Tashkiliy nuqta:(2 min.) qo'llab-quvvatlovchi eslatmalar yordamida nazariyani takrorlash.

2.Guruhlarda uy vazifasini tekshirish.(10 daqiqa)

Majburiy daraja (1 guruh)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

№ 119 (2,4,6) nuqtadan D (f), E (f) raqamlar oraliqlari ko'rinishida va qo'llab-quvvatlovchi konturga muvofiq raqam raqamini ko'rsatadi. .(1-ilovaga qarang)

Javob namunasi:

№ 119(2): D (f )=(); E(f) =(),2-rasm

№ 119(4): D (f )=(),(0; ),

E (f) =(0;), 3-rasm

No 119(6):): D (f )= ; ); E(f) =; ), 5-rasm

No 124(2) joyidan

Javob namunasi:

Darslikdagi 13-rasmga asosan grafik

funksiya grafigidan yuqorida joylashgan

.

No 128. Doskaga 1-o‘quvchi savollarga javob yozadi va funksiyalarning sxematik grafiklarini tuzadi.

Javoblar namunasi

2) ; D(f)=; );

E(f) =; );

4) ; D (f )=(-1; ); E (f) =(0; );

Yuqori daraja (2-guruh) 1-guruh o'qituvchisi D/Z ni tekshirayotganda, 2-guruh o'quvchilari kartalarni to'ldirishmoqda. Va bitta talaba doskada№ 129(2,4) Javob namunasi:

D ()=R ; E () = ; );

4) . D ()=R ; E () = ; );

1-karta varianti.

2-karta varianti.

No 1.Funksiyalarning grafiklarini sxematik chizing:

No 2. Funksiya grafiklarining kesishish nuqtalarining koordinatalarini toping:

III . Asosiy bilimlarni yangilash:(12 daqiqa)

1.Funksiyaning taʼrif sohasi va qiymatlari toʻplamini koʻrsating:

,

2. Bu funksiyalar qanday ortib yoki kamayib boradi:

,

3. Berilgan funksiya

Xulosani daftaringizga yozing

Barcha funktsiyalar uchun

4. 122-son (og‘zaki). Quvvat funksiyasining xususiyatlaridan foydalanib, birlik bilan solishtiring:

Javob namunasi:

No 126 (1) - kengashda (variantlarga ko'ra mustaqil ravishda No 126 (2,3)).

Javob namunasi:

Bitta koordinata tizimidagi funksiyalar grafiklarini tuzing.

IV . Mashq qilish. ( 4 min.)

No125(1,3,5,7) diktant bo‘yicha.

Ifodalar ma'nosini solishtiring:

Javob namunasi: (keling, qo'llab-quvvatlovchi eslatmalarni yana ko'rib chiqaylik)

3) ; chunki va funktsiyasi;

5) ; chunki ; va funksiya kamaymoqda;

7) ; chunki va funksiya ortib bormoqda.

V . Uy vazifasi:(1 daqiqa)

1 guruh - No 125 (juft), 175 (2,6), 177 (1,3)

2-guruh - No 184(2.4),177(2.4),182(2.3).

VI . Dars xulosasi:(3 min.) Talabalar darsning asosiy xulosalarini tuzadilar:

Agar ko'rsatkich butun son bo'lmasa, u holda funktsiyaning grafigi birinchi chorakda joylashgan.

Agar ko'rsatkich musbat butun bo'lmagan bo'lsa, funktsiya ortib bormoqda.

Agar ko'rsatkich manfiy butun bo'lmagan bo'lsa, u holda funktsiya kamaymoqda. (slayd-shou)

VII . Sinov (10 daqiqa) (2-ilovaga qarang) B1 va B2 "4" va "5", B3 va B4 - majburiy daraja (to'g'ri javob uchun bir ball).

VIII . Qo'shimcha vazifalar. ( 3 min.)

Tenglamani yeching: Var1.

Javob: -1;6. Javob: -4;4.

Dars mavzusi: "Quvvat funktsiyalari, ularning xususiyatlari va grafiklari"

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

r ning turli qiymatlari uchun y = x r quvvat funktsiyalari grafiklarining xususiyatlari va xususiyatlari haqida bilimlarni shakllantirish uchun sharoit yarating.

Tarbiyaviy:

Talabalarning axborot ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish: slayd matni bilan ishlash qobiliyati, yordamchi xulosa yozish qobiliyati.

Talabalarning ijodiy va aqliy faolligini rivojlantirishga ko'maklashish.

Fikrlaringizni aniq va aniq ifodalash, tahlil qilish va xulosa chiqarish ko'nikmalarini rivojlantirishni davom eting.

Tarbiyaviy:

Matematik nutq madaniyatini rivojlantirishni davom eting.

Kommunikativ kompetentsiyani shakllantirishga hissa qo'shish.

Dars turi: birlashtirilgan

O'quv faoliyatini tashkil etish shakllari: frontal, individual.

Usullari: izohli-illyustrativ, qisman qidiruv.

Ta'lim vositalari:

kompyuter, media proyektor;

doska;

slayd taqdimoti (PowerPoint), (1-ilova);

"Algebra va tahlilning boshlanishi" darsligi. A.G. Mordkovich;

ish kitobi, chizmachilik asboblari;

mavzuning tayanch xulosasi (Word hujjati), (3-ilova);

Mavzuni o'rganish natijasida talabalar kerak

Biling: quvvat funktsiyasi tushunchasi,

darajaga qarab quvvat funksiyasining xossalari.

Imkoniyatiga ega bo'lish: darajaga qarab quvvat funksiyasining xossalarini nomlang,

ratsional bilan quvvat funksiyalarining grafiklarini (grafiklar eskizlarini) qurish

ko'rsatkich

oddiy grafik o'zgarishlarni amalga oshirish,

qo'llab-quvvatlovchi xulosa yozish imkoniyatiga ega bo'lish,

o'z fikrlarini aniq va aniq ifoda eta olish, tahlil qilish va xulosalar chiqarish.

Darslar davomida: Biz kuch funksiyalarining grafiklarini qurish ko'nikmalarini rivojlantirish ustida ishlashni davom ettiramiz. Bunday funksiyalarning bir qanchasi bizga 7-9-sinflar uchun algebra kursidan tanish bo‘lib, bular natural ko‘rsatkichli funksiyalar va manfiy butun sonli darajali funksiyalardir. Oxirgi darsda biz siz bilan kasr darajali darajali funksiyalar nazariyasini yozdik

y = x p, bu erda p - berilgan haqiqiy son

Quvvat funktsiyasining xossalari va grafigi haqiqiy ko'rsatkichli kuchning xususiyatlariga, xususan, x p kuchi mantiqiy bo'lgan x va p qiymatlariga bog'liq.

2.

Quvvat funksiyalarining xossalarini umumlashtirish. Yordamchi kontur bilan ishlash.

1. Doskada ishlash: funksiyalarning grafiklarini tuzing. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

Kengashda 7 kishi ishlaydi, qolganlar keyingi tekshirish uchun guruhlarga birlashtiriladi

Biz rejaga muvofiq mulklarni sanab o'tamiz.

Domen.

Qiymatlar diapazoni (qiymatlar to'plami).

Juft, g'alati funktsiya.

O'sish, kamayish.

Ish oxirida o'z o'rnida qolgan talabalar tomonidan tekshiriladi (ekranda funktsiyalar grafiklari bilan slaydlar ko'rsatiladi).

2. “matematik loto” Ekranda tayyor funktsiya grafiklari ko'rsatiladi, doskaga formulalar to'plami yoziladi va munosabatlarni o'rnatish kerak.

O'zaro tekshirish:

To‘g‘ri javoblar: No 1 578 643 192

3 Og'zaki ish

1. Ushbu funksiyalarning grafiklaridan foydalanib, y = x p funktsiya grafigi y = x funksiya grafigidan yuqorida (pastda) joylashgan oraliqlarni toping.

2. Bu funksiyalarning grafiklaridan foydalanib, y = x sin 45 funksiya grafigi y = x funksiya grafigidan yuqorida (pastda) joylashgan oraliqlarni toping.

3. Rasmdan foydalanib, y = x 1- p funksiya grafigi y = x funksiya grafigidan yuqorida (pastda) joylashgan oraliqlarni toping.

Grafiklarni konvertatsiya qilish

Ko'p hollarda funktsiya grafiklari allaqachon ma'lum bo'lgan oddiyroq shakldagi funktsiya grafiklarini ba'zi o'zgartirishlar orqali tuzilishi mumkin. Keling, ulardan ba'zilarini eslaylik.

Quvvat funksiyasining grafigini og'zaki o'zgartirishni ko'rib chiqing va keyin ikkita grafik tuzing.

Mustaqil ish

Quvvat funksiyasini o‘zingiz aniqlang, uning grafigini tuzing, xossalarini tavsiflang

4.3 KUCH FUNKSIYASI, UNING XUSUSIYATLARI VA GRAFIKASI

O'quv materialining mazmuni:

1. Quvvat funksiyasi, ta’rifi, belgilanishi.

2. Quvvat funksiyasining asosiy xossalari.

3.Kuch funksiyalarining grafiklari va ularning xususiyatlari.

4. Argument qiymati asosida funktsiya qiymatlarini hisoblash. Grafikdagi nuqtaning o‘rnini uning koordinatalari bo‘yicha aniqlash va aksincha.

5. Darajalar qiymatlarini solishtirish uchun funksiyalar xossalaridan foydalanish.

Quvvat shaklning funksiyasi deb ataladi y = x r , Qayerdax - darajaning asosi,

r– darajali funksiyaning xossalari uning darajasi bilan aniqlanadi. Turli darajali darajali funksiyalarning asosiy xossalarini va ularning grafiklarini ko‘rib chiqamiz.

a) funksiyaning xossalari y = x r , r > 1

D(x) =)