Τι είναι ολοκλήρωμα και πώς να το λύσετε. Μιγαδικά ολοκληρώματα

Εάν οι ορισμοί από το σχολικό βιβλίο είναι πολύ περίπλοκοι και ασαφείς, διαβάστε το άρθρο μας. Θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε όσο το δυνατόν πιο απλά, «στα δάχτυλα», τα κύρια σημεία ενός τέτοιου κλάδου των μαθηματικών ως καθορισμένα ολοκληρώματα. Πώς να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα, διαβάστε σε αυτό το εγχειρίδιο.

Από γεωμετρική άποψη, το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι το εμβαδόν του σχήματος που σχηματίζεται από τη γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης και ο άξονας εντός των ορίων ολοκλήρωσης. Καταγράψτε το ολοκλήρωμα, αναλύστε τη συνάρτηση κάτω από το ολοκλήρωμα: εάν το ολοκλήρωμα μπορεί να απλοποιηθεί (ανάγεται, συνυπολογίζεται στο ολοκλήρωμα, χωρίζεται σε δύο απλά ολοκληρώματα), κάντε το. Ανοίξτε τον πίνακα των ολοκληρωμάτων για να προσδιορίσετε ποια παράγωγος συνάρτησης βρίσκεται κάτω από το ολοκλήρωμα. Βρήκατε την απάντηση; Γράψτε τον παράγοντα που προστέθηκε στο ολοκλήρωμα (αν αυτό συνέβη), γράψτε τη συνάρτηση που βρέθηκε από τον πίνακα και αντικαταστήστε τα όρια του ολοκληρώματος.

Για να υπολογίσετε την τιμή ενός ολοκληρώματος, υπολογίστε την τιμή του στο άνω όριο και αφαιρέστε την τιμή του στο κάτω όριο. Η διαφορά είναι η επιθυμητή τιμή.

Για να δοκιμάσετε τον εαυτό σας ή τουλάχιστον να κατανοήσετε τη διαδικασία επίλυσης ενός ενιαίου προβλήματος, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική υπηρεσία για την εύρεση ολοκληρωμάτων, αλλά πριν ξεκινήσετε την επίλυση, διαβάστε τους κανόνες για την εισαγωγή συναρτήσεων. Το μεγαλύτερο πλεονέκτημά του είναι ότι ολόκληρη η λύση του προβλήματος με ένα ολοκλήρωμα περιγράφεται βήμα προς βήμα.

Φυσικά, μόνο οι απλούστερες εκδόσεις των ολοκληρωμάτων εξετάζονται εδώ - ορισμένες μάλιστα, υπάρχουν πολλές ποικιλίες ολοκληρωμάτων που μελετώνται στο μάθημα των ανώτερων μαθηματικών, της μαθηματικής ανάλυσης και των διαφορικών εξισώσεων σε πανεπιστήμια τεχνικών ειδικοτήτων. .

Η εύρεση του αόριστου ολοκληρώματος είναι ένα πολύ κοινό πρόβλημα στα ανώτερα μαθηματικά και σε άλλους τεχνικούς κλάδους της επιστήμης. Ακόμη και τα πιο απλά φυσικά προβλήματα δεν μπορούν να λυθούν χωρίς τον υπολογισμό πολλών απλών ολοκληρωμάτων. Ως εκ τούτου, από τη σχολική ηλικία μας διδάσκονται τεχνικές και μέθοδοι επίλυσης ολοκληρωμάτων δίνονται πολλοί πίνακες με ολοκληρώματα των απλούστερων συναρτήσεων. Ωστόσο, με τον καιρό, όλα αυτά ξεχνιούνται με ασφάλεια, είτε δεν έχουμε αρκετό χρόνο για να υπολογίσουμε είτε χρειαζόμαστε βρείτε τη λύση στο αόριστο ολοκλήρωμααπό μια πολύ περίπλοκη λειτουργία. Για την επίλυση αυτών των προβλημάτων, η υπηρεσία μας θα είναι απαραίτητη για εσάς, επιτρέποντάς σας να βρείτε με ακρίβεια το αόριστο ολοκλήρωμα στο διαδίκτυο.

Λύστε αόριστο ολοκλήρωμα

Ηλεκτρονική υπηρεσία στο δικτυακός τόποςσας επιτρέπει να βρείτε επίλυση του ολοκληρώματος onlineγρήγορο, δωρεάν και υψηλής ποιότητας. Μπορείτε να αντικαταστήσετε την αναζήτηση σε πίνακες για το απαιτούμενο ολοκλήρωμα με την υπηρεσία μας, όπου εισάγοντας γρήγορα την επιθυμητή συνάρτηση, θα λάβετε μια λύση στο αόριστο ολοκλήρωμα σε μορφή πίνακα. Δεν είναι όλοι οι μαθηματικοί ιστότοποι ικανοί να υπολογίζουν αόριστα ολοκληρώματα συναρτήσεων online γρήγορα και αποτελεσματικά, ειδικά αν χρειάζεται να βρείτε αόριστο ολοκλήρωμααπό σύνθετη συνάρτηση ή τέτοιες συναρτήσεις που δεν περιλαμβάνονται στο γενικό μάθημα των ανώτερων μαθηματικών. Δικτυακός τόπος δικτυακός τόποςθα βοηθήσει επίλυση αναπόσπαστο σε απευθείας σύνδεση και να αντιμετωπίσει το έργο. Χρησιμοποιώντας την ηλεκτρονική λύση του ολοκληρώματος στον ιστότοπο, θα λαμβάνετε πάντα την ακριβή απάντηση.

Ακόμα κι αν θέλετε να υπολογίσετε μόνοι σας το ολοκλήρωμα, χάρη στην υπηρεσία μας θα είναι εύκολο για εσάς να ελέγξετε την απάντησή σας, να βρείτε κάποιο λάθος ή τυπογραφικό λάθος ή να βεβαιωθείτε ότι η εργασία έχει ολοκληρωθεί άψογα. Εάν λύνετε ένα πρόβλημα και πρέπει να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα ως βοηθητική ενέργεια, τότε γιατί να χάνετε χρόνο σε αυτές τις ενέργειες που μπορεί να έχετε κάνει ήδη χίλιες φορές; Επιπλέον, πρόσθετοι υπολογισμοί του ολοκληρώματος μπορεί να είναι η αιτία ενός τυπογραφικού λάθους ή ενός μικρού σφάλματος, το οποίο στη συνέχεια οδήγησε σε λανθασμένη απάντηση. Απλώς χρησιμοποιήστε τις υπηρεσίες μας και βρείτε αόριστο ολοκλήρωμα onlineχωρίς καμία προσπάθεια. Για πρακτικά προβλήματα εύρεσης αναπόσπαστολειτουργίες Σε σύνδεσηαυτός ο διακομιστής είναι πολύ χρήσιμος. Πρέπει να εισαγάγετε τη δεδομένη συνάρτηση, λάβετε διαδικτυακή λύση αορίστου ολοκληρώματοςκαι συγκρίνετε την απάντηση με τη λύση σας.

Η εύρεση ενός αόριστου ολοκληρώματος (ένα σύνολο αντιπαραγώγων ή «αντιπαραγώγων») σημαίνει ανακατασκευή μιας συνάρτησης από τη γνωστή παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Αποκατεστημένο σύνολο αντιπαραγώγων φά(Χ) + ΜΕ για λειτουργία φά(Χ) λαμβάνει υπόψη τη σταθερά ολοκλήρωσης ντο. Με βάση την ταχύτητα κίνησης ενός υλικού σημείου (παράγωγο), ο νόμος της κίνησης αυτού του σημείου (αντιπαράγωγο) μπορεί να αποκατασταθεί. σύμφωνα με την επιτάχυνση της κίνησης ενός σημείου - την ταχύτητά του και τον νόμο της κίνησης. Όπως μπορείτε να δείτε, η ενσωμάτωση είναι ένα ευρύ πεδίο για τις δραστηριότητες των Sherlock Holmeses της φυσικής. Και στα οικονομικά, πολλές έννοιες αντιπροσωπεύονται μέσω συναρτήσεων και των παραγώγων τους, και επομένως, για παράδειγμα, είναι δυνατό να αποκατασταθεί ο όγκος των προϊόντων που παράγονται την αντίστοιχη στιγμή χρησιμοποιώντας την παραγωγικότητα της εργασίας σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή (παράγωγο).

Η εύρεση ενός αόριστου ολοκληρώματος απαιτεί έναν αρκετά μικρό αριθμό βασικών τύπων ολοκλήρωσης. Αλλά η διαδικασία εύρεσης του είναι πολύ πιο δύσκολη από την απλή εφαρμογή αυτών των τύπων. Όλη η πολυπλοκότητα δεν σχετίζεται με την ολοκλήρωση, αλλά με τη μεταφορά της ολοκληρωμένης έκφρασης σε μια μορφή που καθιστά δυνατή την εύρεση του αόριστου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τους βασικούς τύπους που αναφέρονται παραπάνω. Αυτό σημαίνει ότι για να αρχίσετε να εξασκείτε την ενσωμάτωση, πρέπει να ενεργοποιήσετε τις δεξιότητες μετασχηματισμού έκφρασης που αποκτήσατε στο γυμνάσιο.

Θα μάθουμε να βρίσκουμε ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας ιδιότητες και πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτωναπό ένα μάθημα για τις βασικές έννοιες αυτού του θέματος (ανοίγει σε νέο παράθυρο).

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για την εύρεση του ολοκληρώματος, εκ των οποίων μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασηςΚαι μέθοδος ενσωμάτωσης με ανταλλακτικά- ένα υποχρεωτικό σετ κυρίων για όλους όσους έχουν περάσει επιτυχώς ανώτερα μαθηματικά. Ωστόσο, είναι πιο χρήσιμο και ευχάριστο να αρχίσουμε να κατακτούμε την ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επέκτασης, με βάση τα ακόλουθα δύο θεωρήματα για τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος, τα οποία επαναλαμβάνουμε εδώ για ευκολία.

Θεώρημα 3.Ο σταθερός παράγοντας στο ολοκλήρωμα μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του αόριστου ολοκληρώματος, δηλ.

Θεώρημα 4.Το αόριστο ολοκλήρωμα ενός αλγεβρικού αθροίσματος πεπερασμένου αριθμού συναρτήσεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των αόριστων ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων, δηλ.

(2)

Επιπλέον, ο ακόλουθος κανόνας μπορεί να είναι χρήσιμος στην ολοκλήρωση: εάν η έκφραση του ολοκληρώματος περιέχει έναν σταθερό παράγοντα, τότε η έκφραση του αντιπαραγώγου πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφο του σταθερού παράγοντα, δηλαδή

(3)

Δεδομένου ότι αυτό είναι ένα εισαγωγικό μάθημα για την επίλυση προβλημάτων ένταξης, είναι σημαντικό να σημειώσετε δύο πράγματα που είτε στην αρχή είτε λίγο αργότερα μπορεί να σας εκπλήξουν. Η έκπληξη οφείλεται στο γεγονός ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της διαφοροποίησης και το αόριστο ολοκλήρωμα μπορεί δικαίως να ονομαστεί «αντιπαράγωγο».

Το πρώτο πράγμα που δεν πρέπει να εκπλαγείτε κατά την ενσωμάτωση.Στον πίνακα των ολοκληρωμάτων Υπάρχουν τύποι που δεν έχουν ανάλογα μεταξύ των τύπων του πίνακα παραγώγων . Αυτοί είναι οι ακόλουθοι τύποι:

Ωστόσο, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι οι παράγωγοι των παραστάσεων στις δεξιές πλευρές αυτών των τύπων συμπίπτουν με τα αντίστοιχα ολοκληρώματα.

Το δεύτερο πράγμα που δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη κατά την ενσωμάτωση. Αν και η παράγωγος οποιασδήποτε στοιχειώδους συνάρτησης είναι επίσης στοιχειώδης συνάρτηση, Τα αόριστα ολοκληρώματα ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων δεν είναι πλέον στοιχειώδεις συναρτήσεις . Παραδείγματα τέτοιων ολοκληρωμάτων θα μπορούσαν να είναι τα ακόλουθα:

Για την ανάπτυξη τεχνικών ολοκλήρωσης, θα είναι χρήσιμες οι ακόλουθες δεξιότητες: μείωση κλασμάτων, διαίρεση πολυωνύμου στον αριθμητή ενός κλάσματος με ένα μονώνυμο στον παρονομαστή (για να ληφθεί το άθροισμα αόριστων ολοκληρωμάτων), μετατροπή ριζών σε δυνάμεις, πολλαπλασιασμός ενός μονωνύμου με ένα πολυωνυμικό, ανεβάζοντας σε δύναμη. Αυτές οι δεξιότητες χρειάζονται για μετασχηματισμούς του ολοκληρώματος, οι οποίοι θα πρέπει να έχουν ως αποτέλεσμα το άθροισμα των ολοκληρωμάτων που υπάρχουν στον πίνακα των ολοκληρωμάτων.

Εύρεση αόριστων ολοκληρωμάτων μαζί

Παράδειγμα 1.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

.

Λύση. Βλέπουμε στον παρονομαστή του ολοκληρώματος ένα πολυώνυμο στο οποίο το x είναι τετράγωνο. Αυτό είναι ένα σχεδόν σίγουρο σημάδι ότι μπορείτε να εφαρμόσετε το ολοκλήρωμα πίνακα 21 (με αποτέλεσμα μια τόξο εφαπτομένη). Βγάζουμε τον παράγοντα-δύο από τον παρονομαστή (υπάρχει μια τέτοια ιδιότητα του ολοκληρώματος - ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί πέρα ​​από το πρόσημο του ολοκληρώματος· αναφέρθηκε παραπάνω ως Θεώρημα 3). Το αποτέλεσμα όλων αυτών:

Τώρα ο παρονομαστής είναι το άθροισμα των τετραγώνων, που σημαίνει ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε το αναφερόμενο ολοκλήρωμα πίνακα. Τελικά παίρνουμε την απάντηση:

.

Παράδειγμα 2.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση. Εφαρμόζουμε και πάλι το Θεώρημα 3 - την ιδιότητα του ολοκληρώματος, βάσει της οποίας ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ολοκληρώματος:

Εφαρμόζουμε τον τύπο 7 από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων (μεταβλητή σε ισχύ) στη συνάρτηση ολοκλήρωσης:

.

Μειώνουμε τα κλάσματα που προκύπτουν και έχουμε την τελική απάντηση:

Παράδειγμα 3.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση. Εφαρμόζοντας πρώτα το Θεώρημα 4 και μετά το Θεώρημα 3 στις ιδιότητες, βρίσκουμε αυτό το ολοκλήρωμα ως το άθροισμα τριών ολοκληρωμάτων:

Και τα τρία ολοκληρώματα που λήφθηκαν είναι πίνακες. Χρησιμοποιούμε τον τύπο (7) από τον πίνακα των ολοκληρωμάτων για n = 1/2, n= 2 και n= 1/5 και μετά

συνδυάζει και τις τρεις αυθαίρετες σταθερές που εισήχθησαν κατά την εύρεση των τριών ολοκληρωμάτων. Επομένως, σε παρόμοιες καταστάσεις, θα πρέπει να εισαχθεί μόνο μία αυθαίρετη σταθερά ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα 4.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση. Όταν ο παρονομαστής του ολοκληρώματος περιέχει ένα μονώνυμο, μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο προς όρο. Το αρχικό ολοκλήρωμα μετατράπηκε στο άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων:

.

Για να εφαρμόσουμε το ολοκλήρωμα του πίνακα, μετατρέπουμε τις ρίζες σε δυνάμεις και εδώ είναι η τελική απάντηση:

Συνεχίζουμε να βρίσκουμε αόριστα ολοκληρώματα μαζί

Παράδειγμα 7.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Λύση. Αν μετατρέψουμε το ολοκλήρωμα τετραγωνίζοντας το διώνυμο και διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή όρο με τον όρο, τότε το αρχικό ολοκλήρωμα γίνεται το άθροισμα τριών ολοκληρωμάτων.

Ολοκληρώματα διαδικτυακά στον ιστότοπο για μαθητές και μαθητές για να ενοποιήσουν το υλικό που έχουν καλύψει. Κάθε φορά που ξεκινάτε να λύνετε ένα ολοκλήρωμα, πρέπει να προσδιορίζετε τον τύπο του χωρίς αυτό, δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε καμία μέθοδο, εκτός εάν το θεωρήσετε ως μέθοδο πίνακα. Δεν είναι καθαρά ορατό κάθε ολοκλήρωμα πίνακα από ένα δεδομένο παράδειγμα, μερικές φορές χρειάζεται να μετατρέψετε την αρχική συνάρτηση για να βρείτε το αντιπαράγωγο. Στην πράξη, η επίλυση ολοκληρωμάτων καταλήγει στην ερμηνεία του προβλήματος της εύρεσης του πρωτοτύπου, δηλαδή αντιπαράγωγου από μια άπειρη οικογένεια συναρτήσεων, αλλά εάν δοθούν τα όρια ολοκλήρωσης, τότε σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz, παραμένει μόνο ένα μοναδικό συνάρτηση στην οποία θα πρέπει να εφαρμοστούν οι υπολογισμοί. Ανεπίσημα, το διαδικτυακό ολοκλήρωμα είναι η περιοχή μεταξύ του γραφήματος μιας συνάρτησης και του άξονα x εντός των ορίων ολοκλήρωσης. Ας αξιολογήσουμε ένα σύνθετο ολοκλήρωμα σε μία μεταβλητή και ας συσχετίσουμε την απάντησή του με την περαιτέρω λύση του προβλήματος. Μπορείτε, όπως λένε, να το βρείτε απευθείας από το integrand. Σύμφωνα με το κύριο θεώρημα της ανάλυσης, η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη λειτουργία της διαφοροποίησης, η οποία βοηθά στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Υπάρχουν αρκετοί διαφορετικοί ορισμοί της λειτουργίας της ενοποίησης, που διαφέρουν στις τεχνικές λεπτομέρειες. Ωστόσο, είναι όλες συμβατές, δηλαδή, οποιεσδήποτε δύο μέθοδοι ολοκλήρωσης, εάν μπορούν να εφαρμοστούν σε μια δεδομένη συνάρτηση, θα δώσουν το ίδιο αποτέλεσμα. Το απλούστερο είναι το ολοκλήρωμα Riemann - αυτό είναι ένα οριστικό ολοκλήρωμα ή ένα αόριστο ολοκλήρωμα. Ανεπίσημα, το ολοκλήρωμα μιας μεταβλητής μπορεί να εισαχθεί ως η περιοχή κάτω από το γράφημα (το σχήμα που περικλείεται μεταξύ του γραφήματος της συνάρτησης και του άξονα x). Προσπαθώντας να βρούμε αυτήν την περιοχή, μπορούμε να εξετάσουμε σχήματα που αποτελούνται από έναν ορισμένο αριθμό κάθετων ορθογωνίων, οι βάσεις των οποίων μαζί σχηματίζουν ένα τμήμα ολοκλήρωσης και προκύπτουν διαιρώντας το τμήμα στον κατάλληλο αριθμό μικρών τμημάτων. Η αριθμομηχανή λύνει ολοκληρώματα με λεπτομερή περιγραφή των ενεργειών και δωρεάν! Ένα διαδικτυακό αόριστο ολοκλήρωμα για μια συνάρτηση είναι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης. Εάν μια συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα, τότε υπάρχει μια αντιπαράγωγη συνάρτηση (ή μια οικογένεια αντιπαραγώγων) για αυτήν. Είναι καλύτερο να προσεγγίσετε αυτό το θέμα προσεκτικά και να βιώσετε εσωτερική ικανοποίηση από τη δουλειά που έχετε κάνει. Όμως, ο υπολογισμός του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας μια μέθοδο διαφορετική από την κλασική οδηγεί μερικές φορές σε απροσδόκητα αποτελέσματα και δεν πρέπει να εκπλαγείτε με αυτό. Χαίρομαι που αυτό το γεγονός θα έχει θετική απήχηση σε αυτό που συμβαίνει. Κατάλογος ορισμένων ολοκληρωμάτων και αόριστων ολοκληρωμάτων με πλήρη λεπτομερή βήμα προς βήμα λύση. Η εύρεση του αόριστου ολοκληρώματος στο διαδίκτυο είναι ένα πολύ κοινό πρόβλημα στα ανώτερα μαθηματικά και σε άλλους τεχνικούς τομείς της επιστήμης. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης. Σκεφτείτε τα ολοκληρωμένα κτίρια προτού εντοπιστούν λάθη. Επίλυση ολοκληρωμάτων online - θα λάβετε μια λεπτομερή λύση για διαφορετικούς τύπους ολοκληρωμάτων: αόριστο, οριστικό, ακατάλληλο. Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι ανάλογο του αθροίσματος μιας ακολουθίας. Ανεπίσημα μιλώντας, ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι το εμβαδόν τμήματος του γραφήματος μιας συνάρτησης. Συχνά ένα τέτοιο ολοκλήρωμα καθορίζει πόσο βαρύτερο είναι ένα σώμα από ένα συγκρίσιμο αντικείμενο της ίδιας πυκνότητας και δεν έχει σημασία τι σχήμα έχει, επειδή η επιφάνεια δεν απορροφά νερό. Κάθε κατώτερος μαθητής ξέρει πώς να βρίσκει το αναπόσπαστο στο διαδίκτυο. Με βάση το σχολικό πρόγραμμα σπουδών, αυτό το τμήμα των μαθηματικών μελετάται επίσης, αλλά όχι λεπτομερώς, αλλά μόνο τα βασικά ενός τόσο περίπλοκου και σημαντικού θέματος. Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι μαθητές αρχίζουν να μελετούν ολοκληρώματα με μια εκτενή θεωρία, της οποίας προηγούνται επίσης σημαντικά θέματα, όπως τα παράγωγα και το πέρασμα στα όρια - είναι επίσης όρια. Η επίλυση ολοκληρωμάτων ξεκινά σταδιακά με τα πιο στοιχειώδη παραδείγματα απλών συναρτήσεων και τελειώνει με τη χρήση πολλών προσεγγίσεων και κανόνων που προτάθηκαν τον περασμένο αιώνα και ακόμη και πολύ νωρίτερα. Ο ολοκληρωτικός λογισμός είναι για εκπαιδευτικούς σκοπούς σε λύκεια και σχολεία, δηλαδή σε εκπαιδευτικά ιδρύματα δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Ο ιστότοπός μας θα σας βοηθά πάντα και η επίλυση ολοκληρωμάτων στο Διαδίκτυο θα γίνει συνηθισμένη για εσάς, και το πιο σημαντικό, μια κατανοητή εργασία. Με βάση αυτόν τον πόρο, μπορείτε εύκολα να επιτύχετε την τελειότητα σε αυτό το μαθηματικό τμήμα. Κατανοώντας τους κανόνες που μελετάτε βήμα προς βήμα, για παράδειγμα, την ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα ή την εφαρμογή της μεθόδου Chebyshev, μπορείτε εύκολα να λύσετε οποιοδήποτε τεστ για τον μέγιστο αριθμό πόντων. Πώς μπορούμε λοιπόν να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα, χρησιμοποιώντας τον γνωστό πίνακα των ολοκληρωμάτων, αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε η λύση να είναι σωστή, σωστή και με την πιο ακριβή δυνατή απάντηση; Πώς να το μάθετε αυτό και είναι δυνατόν ένας απλός πρωτοετής να το κάνει στο συντομότερο δυνατό χρόνο; Ας απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση καταφατικά - μπορείτε! Ταυτόχρονα, όχι μόνο θα μπορείτε να λύσετε οποιοδήποτε παράδειγμα, αλλά θα φτάσετε και στο επίπεδο ενός μηχανικού υψηλής εξειδίκευσης. Το μυστικό είναι πιο απλό από ποτέ - πρέπει να καταβάλετε τη μέγιστη δυνατή προσπάθεια και να αφιερώσετε τον απαραίτητο χρόνο στην προετοιμασία του εαυτού σας. Δυστυχώς, κανείς δεν έχει βρει άλλο τρόπο! Δεν είναι όμως όλα τόσο θολά όσο φαίνονται με την πρώτη ματιά. Εάν επικοινωνήσετε με το σέρβις μας με αυτήν την ερώτηση, θα κάνουμε τη ζωή σας πιο εύκολη, γιατί ο ιστότοπός μας μπορεί να υπολογίσει ολοκληρώματα online με λεπτομέρεια, με πολύ υψηλή ταχύτητα και με άψογη ακριβή απάντηση. Στον πυρήνα του, το ολοκλήρωμα δεν καθορίζει πώς η αναλογία των ορισμάτων επηρεάζει τη σταθερότητα του συστήματος στο σύνολό του. Η μηχανική έννοια του ολοκληρώματος έγκειται σε πολλά εφαρμοσμένα προβλήματα, όπως ο προσδιορισμός του όγκου των σωμάτων και ο υπολογισμός της μάζας ενός σώματος. Σε αυτούς τους υπολογισμούς εμπλέκονται τριπλά και διπλά ολοκληρώματα. Επιμένουμε ότι η λύση των ολοκληρωμάτων γίνεται μόνο υπό την επίβλεψη έμπειρων καθηγητών και μέσω πολυάριθμων ελέγχων Μας ρωτούν συχνά για την απόδοση των μαθητών που δεν παρακολουθούν διαλέξεις, τα παραλείπουν χωρίς λόγο και πώς καταφέρνουν να βρουν. τα ίδια τα αναπόσπαστα. Απαντάμε ότι οι μαθητές είναι ελεύθεροι άνθρωποι και είναι αρκετά ικανοί να μελετούν εξωτερικά, να προετοιμάζονται για ένα τεστ ή εξετάσεις στην άνεση του σπιτιού τους. Σε λίγα δευτερόλεπτα, η υπηρεσία μας θα βοηθήσει οποιονδήποτε να υπολογίσει το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε δεδομένης συνάρτησης σε μια μεταβλητή. Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να ελεγχθεί λαμβάνοντας το παράγωγο της αντιπαραγώγου συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή, η σταθερά από τη λύση του ολοκληρώματος γίνεται μηδέν. Αυτός ο κανόνας ισχύει προφανώς για όλους. Δεν υπάρχουν πολλοί ιστότοποι που παρέχουν απαντήσεις βήμα-βήμα μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, και το σημαντικότερο, με υψηλή ακρίβεια και σε βολική μορφή. Αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμε πώς είναι δυνατό να βρείτε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας μια έτοιμη υπηρεσία, δοκιμασμένη στο χρόνο και δοκιμασμένη σε χιλιάδες λυμένα παραδείγματα στο διαδίκτυο.

Με οριστικό ολοκλήρωμα από μια συνεχή συνάρτηση φά(Χ) στο τελικό τμήμα [ ένα, σι] (όπου ) είναι η αύξηση ορισμένων από τα αντιπαράγωγά του σε αυτό το τμήμα. (Γενικά, η κατανόηση θα είναι αισθητά πιο εύκολη αν επαναλάβετε το θέμα του αόριστου ολοκληρώματος) Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός

Όπως φαίνεται στα παρακάτω γραφήματα (η αύξηση της αντιπαράγωγης συνάρτησης υποδεικνύεται με ) ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός(Υπολογίζεται ως η διαφορά μεταξύ της τιμής του αντιπαραγώγου στο ανώτερο όριο και της τιμής του στο κατώτερο όριο, δηλ. φά(σι) - φά(ένα)).

Αριθμοί έναΚαι σιονομάζονται κατώτερο και ανώτερο όριο ολοκλήρωσης, αντίστοιχα, και το τμήμα [ ένα, σι] – τμήμα ολοκλήρωσης.

Έτσι, εάν φά(Χ) – κάποια αντιπαράγωγη συνάρτηση για φά(Χ), τότε, σύμφωνα με τον ορισμό,

(38)

Η ισότητα (38) ονομάζεται Τύπος Newton-Leibniz . Διαφορά φά(σι) – φά(ένα) γράφεται εν συντομία ως εξής:

Επομένως, θα γράψουμε τον τύπο Newton-Leibniz ως εξής:

(39)

Ας αποδείξουμε ότι το οριστικό ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από το ποιο αντιπαράγωγο του ολοκληρώματος λαμβάνεται κατά τον υπολογισμό του. Αφήνω φά(Χ) και F( Χ) είναι αυθαίρετα αντιπαράγωγα του ολοκληρώματος. Δεδομένου ότι αυτά είναι αντιπαράγωγα της ίδιας συνάρτησης, διαφέρουν με έναν σταθερό όρο: Ф( Χ) = φά(Χ) + ντο. Να γιατί

Αυτό καθορίζει ότι στο τμήμα [ ένα, σι] προσαυξήσεις όλων των αντιπαραγώγων της συνάρτησης φά(Χ) ταιριάξει.

Έτσι, για να υπολογιστεί ένα οριστικό ολοκλήρωμα, είναι απαραίτητο να βρεθεί οποιοδήποτε αντιπαράγωγο του ολοκληρώματος, δηλ. Πρώτα πρέπει να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Συνεχής ΜΕ εξαιρούνται από μεταγενέστερους υπολογισμούς. Στη συνέχεια εφαρμόζεται ο τύπος Newton-Leibniz: η τιμή του ανώτατου ορίου αντικαθίσταται από την αντιπαράγωγη συνάρτηση σι , περαιτέρω - η τιμή του κατώτερου ορίου ένα και υπολογίζεται η διαφορά F(b) - F(a) . Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα..

Στο ένα = σιεξ ορισμού αποδεκτό

Παράδειγμα 1.

Λύση. Αρχικά, ας βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα:

Εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz στο αντιπαράγωγο

(στο ΜΕ= 0), παίρνουμε

Ωστόσο, κατά τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος, είναι προτιμότερο να μην βρεθεί το αντιπαράγωγο χωριστά, αλλά να γραφεί αμέσως το ολοκλήρωμα στη μορφή (39).

Παράδειγμα 2.Υπολογίστε οριστικό ολοκλήρωμα

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο

Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος

Θεώρημα 2.Η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος δεν εξαρτάται από τον προσδιορισμό της μεταβλητής ολοκλήρωσης, δηλ.

(40)

Αφήνω φά(Χ) – αντιπαράγωγο για φά(Χ). Για φά(t) το αντιπαράγωγο είναι η ίδια συνάρτηση φά(t), στην οποία η ανεξάρτητη μεταβλητή ορίζεται μόνο διαφορετικά. Ως εκ τούτου,

Με βάση τον τύπο (39), η τελευταία ισότητα σημαίνει την ισότητα των ολοκληρωμάτων

Θεώρημα 3.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ορισμένου ολοκληρώματος, δηλ.

(41)

Θεώρημα 4.Το οριστικό ολοκλήρωμα ενός αλγεβρικού αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού συναρτήσεων είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα ορισμένων ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων, δηλ.

(42)

Θεώρημα 5.Εάν ένα τμήμα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε μέρη, τότε το οριστικό ολοκλήρωμα σε ολόκληρο το τμήμα είναι ίσο με το άθροισμα των ορισμένων ολοκληρωμάτων στα μέρη του, δηλ. Αν

(43)

Θεώρημα 6.Κατά την αναδιάταξη των ορίων ολοκλήρωσης, η απόλυτη τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος δεν αλλάζει, αλλά αλλάζει μόνο το πρόσημο του, δηλ.

(44)

Θεώρημα 7(θεώρημα μέσης τιμής). Ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα ισούται με το γινόμενο του μήκους του τμήματος ολοκλήρωσης και την τιμή του ολοκλήρωσης σε κάποιο σημείο μέσα σε αυτό, δηλ.

(45)

Θεώρημα 8.Αν το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι μεγαλύτερο από το κατώτερο και το ολοκλήρωμα είναι μη αρνητικό (θετικό), τότε το οριστικό ολοκλήρωμα είναι επίσης μη αρνητικό (θετικό), δηλ. Αν

Θεώρημα 9.Αν το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι μεγαλύτερο από το κατώτερο και οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς, τότε η ανισότητα

μπορεί να ενσωματωθεί όρο προς όρο, δηλ.

(46)

Οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος καθιστούν δυνατή την απλούστευση του άμεσου υπολογισμού των ολοκληρωμάτων.

Παράδειγμα 5.Υπολογίστε οριστικό ολοκλήρωμα

Χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα 4 και 3 και όταν βρίσκουμε αντιπαράγωγα - ολοκληρώματα πίνακα (7) και (6), λαμβάνουμε

Ορισμένο ολοκλήρωμα με μεταβλητό άνω όριο

Αφήνω φά(Χ) – συνεχής στο τμήμα [ ένα, σι] λειτουργία, και φά(Χ) είναι το αντιπαράγωγό του. Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα

(47)

και μέσω tη μεταβλητή ολοκλήρωσης ορίζεται έτσι ώστε να μην συγχέεται με το άνω όριο. Όταν αλλάζει Χαλλάζει και το οριστικό ολοκλήρωμα (47), δηλ. είναι συνάρτηση του ανώτερου ορίου ολοκλήρωσης Χ, το οποίο συμβολίζουμε με φά(Χ), δηλ.

(48)

Ας αποδείξουμε ότι η συνάρτηση φά(Χ) είναι ένα αντιπαράγωγο για φά(Χ) = φά(t). Πράγματι, διαφοροποιώντας φά(Χ), παίρνουμε

επειδή φά(Χ) – αντιπαράγωγο για φά(Χ), ΕΝΑ φά(ένα) είναι σταθερή τιμή.

Λειτουργία φά(Χ) – ένα από τα άπειρα αντιπαράγωγα για φά(Χ), δηλαδή αυτό που Χ = έναπάει στο μηδέν. Αυτή η δήλωση προκύπτει αν στην ισότητα (48) βάλουμε Χ = ένακαι χρησιμοποιήστε το Θεώρημα 1 της προηγούμενης παραγράφου.

Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά μέρη και τη μέθοδο μεταβολής της μεταβλητής

όπου, εξ ορισμού, φά(Χ) – αντιπαράγωγο για φά(Χ). Αν αλλάξουμε τη μεταβλητή στο ολοκλήρωμα

τότε, σύμφωνα με τον τύπο (16), μπορούμε να γράψουμε

Σε αυτή την έκφραση

αντιπαράγωγη συνάρτηση για

Μάλιστα, το παράγωγό του, σύμφωνα με κανόνας διαφοροποίησης σύνθετων συναρτήσεων, είναι ίσο

Έστω α και β οι τιμές της μεταβλητής t, για την οποία η συνάρτηση

παίρνει αξίες ανάλογα έναΚαι σι, δηλ.

Αλλά, σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz, η διαφορά φά(σι) – φά(ένα) Υπάρχει