Funkcja potęgowa, jej własności i wykres. Materiał demonstracyjny Lekcja-wykład Pojęcie funkcji. Właściwości funkcji

Na ostatniej lekcji powtórzyliśmy i uogólniliśmy naszą wiedzę na temat „Pojęcie wykładnika”.

Pamiętajmy, że jeśli - pe podzielone przez ku jest ułamkiem zwykłym, a ku nie jest równe jedności i a jest większe lub równe zero, to przez wyrażenie a do potęgi pe podzielonej przez ku mamy na myśli pierwiastek stopień ku a do potęgi pe.

Na przykład liczbę jeden przecinek trzy do potęgi trzy siódme można zapisać jako siódmy pierwiastek z jednego przecinka trzy do sześcianu.

Funkcje postaci, gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą, nazywane są zwykle funkcjami potęgowymi.

Dzisiaj rozważymy przypadek, w którym k jest wykładnikiem wymiernym (ułamkowym).

Na kursie algebry dla klas 7-9 badaliście właściwości i wykresy funkcji potęgowych z wykładnikiem naturalnym. Funkcja (k-dowolna liczba rzeczywista), funkcja potęgowa.

Dla k=n (n∈N), -funkcja potęgowa z wykładnikiem naturalnym.

Przypomnijmy wykresy takich funkcji.

Wykres funkcji y=x (y jest równe x do pierwszej potęgi lub y jest równe x) jest linią prostą.

Wykres funkcji (E równa się x kwadrat) jest parabolą.

Wykres funkcji (E równa się X do sześcianu) jest parabolą sześcienną.

Wykres funkcji potęgowej (y jest równe x do potęgi ka) w przypadku parzystego k przypomina parabolę. Rysunek przedstawia wykres funkcji potęgowej, w której k wynosi sześć.

Wykres funkcji potęgowej (y jest równe x do potęgi ka) w przypadku nieparzystego k przypomina parabolę sześcienną. Rysunek przedstawia wykres funkcji potęgowej, w której k wynosi siedem.

Jeżeli wykładnik funkcji potęgi ma ujemną liczbę całkowitą, to otrzymujemy funkcję o postaci: y równa się x do potęgi minus en lub y równa się jeden podzielone przez x do n-tej potęgi.

Jeżeli n jest liczbą parzystą, to wykres wygląda jak na rysunku.

Gdzie jest pokazana funkcja y=x-2 lub y=?

Jeśli n jest liczbą nieparzystą, wykres wygląda następująco.

Rysunek przedstawia funkcję y=x-3, czyli y=

Jeżeli wykładnik funkcji potęgowej jest równy zero, to funkcja ta będzie miała postać: Wykresem takiej funkcji jest linia prosta przechodząca przez rzędną pierwszą i równoległa do osi odciętej.

Dla k=-n (n∈Z), -funkcja potęgowa z ujemnym wykładnikiem całkowitym.

Rozważmy funkcję potęgową (E równa się x do potęgi k), gdzie k jest ujemną lub dodatnią liczbą ułamkową.

Jako przykład zbudujmy wykres funkcji potęgowej (E jest równe x do potęgi dwa i trzy).

Dziedziną jego definicji (czyli wszystkich wartości akceptowanych przez x) jest półprosta mająca początek w punkcie zero.

W tym obszarze definicji skonstruujemy wykresy funkcji (y równe x do kwadratu) - jest to gałąź paraboli, zaznaczona na jasnozielonym kolorze, oraz (y równe x do sześcianu) - gałąź paraboli sześciennej, podświetlona w kolorze ciemnozielonym.

Łatwo sprawdzić, że na przedziale (0;1) parabola sześcienna znajduje się poniżej paraboli, a na półprostej (1;+) - powyżej.

Należy zwrócić uwagę, że wykresy funkcji (y równa się x do kwadratu), (y równa się x do potęgi dwa i trzy) i (y równa się x do sześcianu) przechodzą przez punkty (0;0) i (1;1).

Dla innych wartości argumentu x wykres funkcji (y jest równe x do potęgi dwóch przecinku trzy) znajduje się pomiędzy wykresami funkcji (y jest równe x do kwadratu) i (y jest równe x sześcian).

Podobnie sytuacja wygląda w przypadku dowolnej funkcji potęgowej, gdzie jest ułamek niewłaściwy, czyli licznik m jest większy od mianownika n. Wykres tej funkcji jest krzywą przypominającą gałąź paraboli.

Im wyższy indeks funkcji k, tym „bardziej stromo” skierowana jest gałąź.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y równej x do potęgi siedmiu sekund.

W ten sposób możemy rozróżnić następujące własności funkcji potęgowej igr, która jest równa x do potęgi em podzielonej przez en, gdzie licznik m jest większy od mianownika n.

1. Dziedziną definicji są wartości x od zera do plus nieskończoności.

4.Ograniczone od dołu przez oś x, nie ograniczone od góry.

5. Funkcja przyjmuje najmniejszą wartość zero; nie ma większego znaczenia.

8. Wypukły w dół.

Zbudujmy wykres funkcji, gdzie jest ułamek właściwy (licznik jest mniejszy od mianownika) i 0< <1.

Omówione wcześniej właściwości i wykres funkcji (y jest równe n-temu pierwiastkowi z x) lub (y jest równe x do potęgi jedności podzielonej przez n) dotyczą także funkcji, gdzie jest ułamkiem właściwym i 0< <1.

Zapamiętajmy te właściwości:

1. Dziedziną definicji są wszystkie wartości x od zera do plus nieskończoności.

2. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

3. Funkcja rośnie w całym obszarze definicji.

5. Funkcja przyjmuje najmniejszą wartość zero; nie ma większego znaczenia.

6. Funkcja jest ciągła w całym obszarze definicji.

7. Zakres funkcji to wartości gry od zera do plus nieskończoności.

8. Wypukły ku górze. funkcja, gdzie jest ułamkiem właściwym (licznik jest mniejszy od mianownika) i 0<

2. Ani parzyste, ani nieparzyste.

3. Zwiększa się o.

4. Ograniczone od dołu przez oś x, nie ograniczone od góry.

5. ynaim=0; nie ma większego znaczenia.

6. Ciągłe.

8. Wypukły ku górze.

Rozważmy następujący rodzaj funkcji potęgowej - funkcję postaci: y jest równe x do potęgi minus em podzielonej przez en.

Poprzednio rysowaliśmy funkcję potęgi z ujemnym wykładnikiem całkowitym równym x do potęgi minus k, gdzie k jest liczbą naturalną.

Jeśli x jest większe od zera, wykres tej funkcji wygląda jak gałąź hiperboli.

W podobny sposób konstruowany jest wykres dowolnej funkcji potęgowej z ujemnym wykładnikiem wymiernym (ułamkowym).

Należy pamiętać, że wykres takiej funkcji ma dwie asymptoty: poziomą - y jest równe zero i pionową - x jest równe zero.

Zatem funkcja potęgi igr równa się x do potęgi minus em podzielonej przez en ma następujące właściwości (a x jest większe od zera, gdyż w przypadku podstawy ujemnej z ujemnym wykładnikiem potęga wyrażenia nie ma sens):

1) Dziedziną definicji jest wiązka otwarta od zera do nieskończoności.

2) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

3) Funkcja maleje w całym obszarze definicji.

4) Dół jest ograniczony przez oś x, góra nie jest ograniczona.

5) Funkcja nie ma wartości minimalnej ani maksymalnej.

6) Funkcja jest ciągła w całym obszarze definicji.

7) Zakres funkcji to wartości gry od zera do plus nieskończoności.

8) Wypukły w dół.

Własności funkcji potęgowej (x 0):

2). Ani parzyste, ani dziwne.

3). Malejące.

4). Dół jest ograniczony przez oś X, góra nie jest ograniczona.

5). Nie ma najmniejszej ani największej wartości.

6). Ciągłe dla

8). Wypukły w dół.

Wiesz już, że pochodna funkcji potęgowej postaci yrek jest równa x do potęgi en, gdzie n jest liczbą naturalną równą n razy x do potęgi n minus jeden.

Podobnie można obliczyć pochodną funkcji potęgowej z wykładnikiem wymiernym.

Zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Jeżeli x jest większe od zera, a r jest dowolną liczbą wymierną, to pochodna funkcji potęgi y jest równa x do potęgi r i obliczana jest według wzoru: pochodna x do potęgi r jest równa do r razy x do potęgi r minus jeden.

Na przykład pochodna a do minus trzeciej potęgi jest równa minus trzy i do potęgi minus cztery.

Pochodna x do potęgi minus dwie trzecie jest równa minus dwie trzecie x do potęgi minus pięć trzecich.

Tutaj minus jeden przedstawiono jako ułamek niewłaściwy trzech trzecich, następnie dodano ułamki minus dwie trzecie i minus trzy trzecie.

Twierdzenie: jeśli x>0, to r-liczba wymierna

Otrzymanie odpowiedniego wzoru na całkowanie funkcji potęgowej, gdy r nie jest równe jedności, nie jest trudne. Zatem całka nieoznaczona x do potęgi r jest równa x do potęgi r plus jeden podzielone przez r plus jeden plus stała ce.

Nietrudno zrozumieć, że funkcja równa się x do potęgi r plus jeden, podzielone przez r plus jeden jest funkcją pierwotną funkcji równej x do potęgi r. Wzór na całkowanie funkcji potęgowej:

Funkcja jest funkcją pierwotną.

Rozważmy zastosowanie zdobytej wiedzy przy konstruowaniu wykresu funkcji potęgowej.

Utwórz wykres funkcji y równej x plus dwa do potęgi połowy.

1. Zbudujmy wykres funkcji x do potęgi połowy. Jest to funkcja postaci gdzie jest ułamkiem właściwym (licznik jest mniejszy od mianownika) i 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Jest oczywiste, że wykres funkcji y równej x dodać dwa do potęgi połowy skonstruowano przy użyciu równoległego przesunięcia względem osi x o dwie jednostki w lewo. Na rysunku wykres jest zaznaczony na zielono.

Wykres funkcji

1. - szczególny przypadek funkcji postaci, gdzie - jest ułamkiem właściwym (licznik jest mniejszy od mianownika) i 0< <1.

2. Wykres otrzymano poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi X o 2 jednostki w lewo.

Plan lekcji:

„Funkcja potęgowa, jej własności i wykres”

Pełne imię i nazwisko Stadnik Elena Iwanowna

Miejsce pracy Szkoła GBOU nr 606 w Petersburgu, rejon Puszkina

dogłębna nauka języka angielskiego.

Stanowisko nauczyciele matematyki

Przedmiot Matematycy

Klasa 10

Temat i numer w temacie„Funkcja potęgowa, jej właściwości i wykresy”

2 lekcje z danego tematu (łącznie 2 lekcje)

Podstawowy samouczek Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, N.E. Fedorova i inni.

„Algebra i początki analizy 10-11”, podręcznik dla instytucji edukacyjnych Rekomendowany przez Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej: 9. wydanie Moskwa Edukacja 2007.

Cel lekcji: Kształtowanie umiejętności stosowania wiedzy na ten temat przy rozwiązywaniu standardowych i niestandardowych problemów algebraicznych. Kształcenie umiejętności integrowania wiedzy z różnych dziedzin w ramach zajęć z matematyki

Zadania:

Edukacyjne: (tworzenie poznawczego UUD)

potrafić porównywać liczby, rozwiązywać nierówności za pomocą wykresów i (lub) własności funkcji potęgowych

Edukacyjne: (kształtowanie umiejętności komunikacyjnych i osobistych)

kultywować trwałe zainteresowanie przedmiotem, kształtować kompetencje komunikacyjne uczniów, kultywować odpowiedzialność i dokładność

Typ lekcji: uogólnianie i systematyzacja wiedzy

Metody: dyskusja, obserwacja, porównanie, doświadczenie.

Sprzęt: tablica, sprzęt multimedialny, tablica interaktywna, komputer, materiały dydaktyczne, plakat z wykresami dla nr 126(2;3)

Podczas zajęć:

1.Punkt organizacyjny:(2 min.), aby powtórzyć teorię, korzystając z przypisów.

2.Sprawdzanie zadań domowych w grupach.(10 minut.)

Poziom obowiązkowy (1 grupa)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

Nr 119 (2,4,6) z miejsca wskazać D(f), E(f) w postaci odstępów numerycznych oraz numer figury zgodnie z obrysem nośnym .(patrz dodatek 1)

Przykładowa odpowiedź:

nr 119 ust. 2: D(f)=(); E(f) =(), Ryc.2

Nr 119 ust. 4: D (f )=(),(0; ),

E (f) =(0;), Ryc.3

nr 119(6):): D (f)= ; ); E(f) = ; ), rys. 5

Nr 124(2) z miejsca

Przykładowa odpowiedź:

Według ryc. 13 z podręcznika wykres

leży nad wykresem funkcji

.

Nr 128. Uczeń 1 zapisuje na tablicy odpowiedzi na pytania i konstruuje schematyczne wykresy funkcji.

Przykładowe odpowiedzi

2) ; D(f)= ; );

E(f) = ; );

4) ; re (f)=(-1; ); mi (f) = (0; );

Poziom zaawansowany (grupa 2) Podczas gdy nauczyciel grupy 1 sprawdza D/Z, uczniowie grupy 2 uzupełniają karty. I jeden uczeń przy tablicy Nr 129(2,4) Przykładowa odpowiedź:

D ()=R; mi () = ; );

4) . D ()=R; mi () = ; );

Opcja karty 1.

Opcja karty 2.

Nr 1. Narysuj schematycznie wykresy funkcji:

Nie. 2. Znajdź współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji:

III . Aktualizacja podstawowej wiedzy:(12 minut)

1.Wskaż dziedzinę definicji i zbiór wartości funkcji:

,

2. Jak rosną lub maleją te funkcje:

,

3.Podana funkcja

Zapisz konkluzję w zeszycie

Dla wszystkich funkcji

4. nr 122 (ustnie). Korzystając z właściwości funkcji potęgowej, porównaj z jednością:

Przykładowa odpowiedź:

Nr 126 ust. 1 - w zarządzie (nr 126 ust. 2, 3) samodzielnie według opcji).

Przykładowa odpowiedź:

Konstruować wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych.

IV . Robienie ćwiczeń. ( 4 minuty)

Nr 125(1,3,5,7) pod dyktando.

Porównaj znaczenie wyrażeń:

Przykładowa odpowiedź: (spójrzmy jeszcze raz na uwagi uzupełniające)

3) ; ponieważ i funkcja;

5) ; ponieważ ; i funkcja jest malejąca;

7) ; ponieważ i funkcja jest rosnąca.

V . Praca domowa:(1 minuta.)

1 grupa - nr 125 (parzysty), 175 (2,6), 177 (1,3)

Grupa 2 - nr 184(2.4),177(2.4),182(2.3).

VI . Podsumowanie lekcji:(3 min.) Uczniowie formułują główne wnioski z lekcji:

Jeżeli wykładnik nie jest liczbą całkowitą, wówczas wykres funkcji znajduje się w pierwszej ćwiartce.

Jeśli wykładnik jest liczbą dodatnią niecałkowitą, funkcja jest rosnąca.

Jeśli wykładnik jest liczbą ujemną, niecałkowitą, to funkcja jest malejąca. (pokaz slajdów)

VII . Próba (10 min.) (patrz dodatek 2) B1 i B2 na „4” i „5”, B3 i B4 – poziom obowiązkowy (jeden punkt za poprawną odpowiedź).

VIII . Dodatkowe zadania. ( 3 minuty)

Rozwiąż równanie: Var1.

Odpowiedź: -1;6. Odpowiedź: -4;4.

Temat lekcji: „Funkcje potęgowe, ich własności i wykresy”

Cele Lekcji:

Edukacyjny:

Stwórz warunki do kształtowania wiedzy o właściwościach i cechach wykresów funkcji potęgowych y = x r dla różnych wartości r.

Edukacyjny:

Promowanie rozwoju umiejętności informacyjnych uczniów: umiejętność pracy z tekstem slajdów, umiejętność napisania streszczenia pomocniczego.

Promowanie rozwoju twórczej i aktywności umysłowej uczniów.

Kontynuuj rozwijanie umiejętności jasnego i jasnego wyrażania swoich myśli, analizowania i wyciągania wniosków.

Edukacyjny:

Kontynuuj rozwój kultury mowy matematycznej.

Przyczyniaj się do kształtowania kompetencji komunikacyjnych.

Typ lekcji:łączny

Formy organizacji zajęć edukacyjnych: frontalny, indywidualny.

Metody: wyjaśniająco-ilustracyjny, częściowo poszukiwania.

Środki edukacji:

komputer, projektor multimedialny;

tablica szkolna;

prezentacja slajdów (PowerPoint), (Załącznik 1);

podręcznik „Algebra i początki analizy”, wyd. A.G. Mordkovich;

skoroszyt, narzędzia do rysowania;

pomocnicze podsumowanie tematu (dokument Word), (załącznik 3);

W wyniku przestudiowania tematu uczniowie powinni

Wiedzieć: koncepcja funkcji potęgowej,

własności funkcji potęgowej w zależności od wykładnika.

Być w stanie: nazwać właściwości funkcji potęgowej w zależności od wykładnika,

budować wykresy (szkice wykresów) funkcji potęgowych o charakterze wymiernym

wskaźnik

wykonywać proste przekształcenia grafów,

potrafić napisać streszczenie uzupełniające,

potrafić jasno i wyraźnie wyrażać swoje myśli, analizować i wyciągać wnioski.

Podczas zajęć: Kontynuujemy pracę nad doskonaleniem umiejętności konstruowania wykresów funkcji potęgowych. Szereg takich funkcji jest nam znanych z kursu algebry dla klas 7-9, są to funkcje z wykładnikiem naturalnym i funkcje potęgowe z ujemnym wykładnikiem całkowitym. Na ostatniej lekcji spisaliśmy z wami teorię funkcji potęgowych z wykładnikami ułamkowymi

y = x p, gdzie p jest daną liczbą rzeczywistą

Właściwości i wykres funkcji potęgowej zależą od właściwości potęgi z wykładnikiem rzeczywistym, a w szczególności od wartości x i p, dla których potęga x p ma sens.

2.

Uogólnienie własności funkcji potęgowych. Praca z konturem pomocniczym.

1.Praca na tablicy: konstruować wykresy funkcji. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

Przy tablicy pracuje 7 osób, pozostałe na miejscu łączy się w grupy w celu dalszej weryfikacji

Wykazujemy nieruchomości zgodnie z planem.

Domena.

Zakres wartości (zestaw wartości).

Parzysta, dziwna funkcja.

Rosnące, malejące.

Na koniec pracy uczniowie, którzy pozostali na miejscu, sprawdzają, czy na ekranie wyświetlane są slajdy z wykresami funkcji.

2. „lotto matematyczne” Na ekranie wyświetlane są gotowe wykresy funkcji, na tablicy zapisywane są zestawy formuł i należy ustalić zależności.

Wzajemna kontrola:

Prawidłowe odpowiedzi: nr 1 578 643 192

3 Praca ustna

1. Korzystając z wykresów tych funkcji, znajdź przedziały, w jakich wykres funkcji y = x π leży powyżej (poniżej) wykresu funkcji y = x.

2. Korzystając z wykresów tych funkcji, znajdź przedziały, w jakich wykres funkcji y = x sin 45 leży powyżej (poniżej) wykresu funkcji y = x.

3. Korzystając z rysunku, znajdź przedziały, w jakich wykres funkcji y = x 1- π leży powyżej (poniżej) wykresu funkcji y = x.

Konwersja wykresów

W wielu przypadkach wykresy funkcji można skonstruować poprzez przekształcenia znanych już wykresów funkcji w prostszą postać. Przypomnijmy niektóre z nich.

Rozważ werbalne przekształcenie wykresu funkcji potęgi, a następnie skonstruuj dwa wykresy.

Niezależna praca

Zdefiniuj samodzielnie funkcję potęgową, narysuj jej wykres, opisz jej właściwości

4.3 FUNKCJA MOCY, JEJ WŁAŚCIWOŚCI I GRAFIKA

Treść materiałów edukacyjnych:

1. Funkcja potęgowa, definicja, oznaczenie.

2. Podstawowe własności funkcji potęgowej.

3.Wykresy funkcji potęgowych i ich cechy.

4. Obliczanie wartości funkcji na podstawie wartości argumentu. Wyznaczanie położenia punktu na wykresie poprzez jego współrzędne i odwrotnie.

5.Wykorzystanie właściwości funkcji do porównania wartości stopni.

Moc nazywamy funkcją formy y = X R , Gdziex jest podstawą stopnia,

R– wykładnik O właściwościach funkcji potęgowej decyduje jej wykładnik. Rozważmy podstawowe właściwości funkcji potęgowych z różnymi wykładnikami i ich wykresami.

a) Własności funkcji y = X R , R > 1

D(x) = )