İki dairenin göreceli konumu. Bir düzlemdeki iki dairenin göreceli konumu

Ders konusu: " Bir düzlemdeki iki dairenin göreceli konumu.”

Hedef :

eğitici - İki dairenin göreceli konumu hakkında yeni bilgilere hakim olmak, sınava hazırlanmak

Gelişimsel - hesaplama becerilerinin geliştirilmesi, mantıksal-yapısal düşünmenin geliştirilmesi; rasyonel çözümler bulma ve nihai sonuçlara ulaşma becerilerini geliştirmek; bilişsel aktivitenin ve yaratıcı düşüncenin gelişimi.

eğitici – öğrencilerde sorumluluk ve tutarlılığın oluşması; bilişsel ve estetik niteliklerin gelişimi; Öğrencilerin bilgi kültürünün oluşumu.

Islah - mekansal düşünme, hafıza ve el motor becerilerini geliştirin.

Ders türü: yeni eğitim materyali öğrenme, pekiştirme.

Ders türü: karma ders.

Öğretme yöntemi: sözlü, görsel, pratik.

Çalışma şekli: toplu.

Eğitim araçları: pano

DERSLER SIRASINDA:

1. Organizasyon aşaması

- selamlar;

- derse hazırlığın kontrol edilmesi;

2. Temel bilgilerin güncellenmesi.
Önceki derslerde hangi konuları ele aldık?

Bir daire denkleminin genel formu?

Sözlü olarak gerçekleştirin:

Yıldırım araştırması

3. Yeni materyalin tanıtılması.

Sizce bugün hangi rakamı ele alacağız? Peki ya iki tane varsa??

Nasıl yerleştirilebilirler???

Çocuklar elleriyle (komşularıyla) dairelerin nasıl düzenlenebileceğini gösterirler ( beden eğitimi dakikası)

Peki bugün neyi dikkate almamız gerektiğini düşünüyorsunuz? Bugün iki dairenin göreceli konumunu düşünmeliyiz. Ve konuma bağlı olarak merkezler arasındaki mesafenin ne kadar olduğunu öğrenin.

Ders konusu:« İki dairenin göreceli konumu. Problem çözme.»

1. Eş merkezli daireler

2. Ayrık daireler

3.Harici dokunuş

4. Kesişen daireler

5. Dahili dokunuş

O halde sonuca varalım

4. Beceri ve yeteneklerin oluşumu

Verilerde veya ifadede bir hata bulun ve fikrinizi gerekçelendirerek düzeltin:

A) İki daire birbirine temas ediyor. Yarıçapları R = 8 cm ve r = 2 cm, merkezler arası mesafe d = 6'dır.
B) İki çemberin en az iki ortak noktası vardır.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Çemberlerin ortak noktaları yoktur.

D) R = 8, r = 6, d = 4. Küçük daire büyük dairenin içinde yer alır.

D) İki daire biri diğerinin içinde olacak şekilde konumlandırılamaz.

5. Beceri ve yeteneklerin pekiştirilmesi.

Daireler dışarıya temas ediyor. Küçük dairenin yarıçapı 3 cm, büyük dairenin yarıçapı 5 cm'dir.

Çözüm: 3+5=8(cm)

Daireler içten temas ediyor. Küçük dairenin yarıçapı 3 cm, büyük dairenin yarıçapı 5 cm'dir. Dairelerin merkezleri arasındaki mesafe nedir?

Çözüm: 5-3=2(cm)

Daireler içten temas ediyor. Dairelerin merkezleri arasındaki mesafe 2,5 cm'dir. Dairelerin yarıçapları nedir?

cevap: (5,5 cm ve 3 cm), (6,5 cm ve 4 cm), vb.

ANLAYIŞININ KONTROL EDİLMESİ

1) İki daire nasıl konumlandırılabilir?

2) Hangi durumda çemberlerin bir ortak noktası vardır?

3) İki çemberin ortak noktasına ne denir?

4) Hangi dokunuşları biliyorsunuz?

5) Çemberler ne zaman kesişir?

6) Hangi dairelere eşmerkezli denir?

Konuyla ilgili ek görevler: Vektörler. Koordinat yöntemi"(eğer zaman kaldıysa)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Bul:

a) EF,GH vektörlerinin koordinatları

b) FG vektörünün uzunluğu

c) O noktasının koordinatları - EF'nin ortası

W noktasının koordinatları - GH'nin orta noktası

d) FG çapında bir dairenin denklemi

e) FH düz çizgisinin denklemi

6. Ödev

& 96 Sayı 1000. Bu denklemlerden hangisi çember denklemidir? Merkezi ve yarıçapı bulun

7. Dersi özetlemek(3 dakika.)

(sınıfın ve bireysel öğrencilerin çalışmalarının niteliksel bir değerlendirmesini yapın).

8. Yansıma aşaması(2 dakika.)

(öğrencilerin duygusal durumları, faaliyetleri, öğretmen ve sınıf arkadaşlarıyla etkileşimleri hakkında çizimleri kullanarak düşünmelerini başlatın)

Bir daire ve C merkeziyle çakışmayan bir nokta verilsin (Şekil 205). Üç durum mümkündür: nokta dairenin içindedir (Şek. 205, a), dairenin üzerindedir (Şek. 205, b), dairenin dışındadır (Şek. 205, c). Daireyi K ve L noktalarında kesecek düz bir çizgi çizelim (b durumunda bu nokta, dairenin diğer tüm noktalarına göre noktaya en yakın olan noktaya denk gelecektir), diğeri ise en uzak.

Yani, örneğin, Şekil 2'de. 205 ve çemberin K noktası en yakın noktadır. Aslında, daire üzerindeki herhangi bir başka nokta için kesikli çizgi SAG doğru parçasından daha uzundur: ama aynı zamanda tam tersine, L noktası için de bulduk (yine kesikli çizgi düz çizgi parçasından daha uzundur). Geriye kalan iki vakanın analizini okuyucuya bırakıyoruz. En büyük mesafenin en küçük if veya if'e eşit olduğunu unutmayın.

İki dairenin olası düzenleme durumlarını analiz etmeye devam edelim (Şekil 206).

a) Dairelerin merkezleri çakışmaktadır (Şekil 206, a). Bu tür dairelere eşmerkezli denir. Bu dairelerin yarıçapları eşit değilse biri diğerinin içindedir. Yarıçaplar eşitse çakışırlar.

b) Şimdi çemberlerin merkezleri farklı olsun. Bunları düz bir çizgiyle birleştirelim, buna belirli bir daire çiftinin merkezlerinin çizgisi denir. Dairelerin göreceli konumu yalnızca merkezlerini birleştiren d segmentinin değeri ile R, r dairelerinin yarıçap değerleri arasındaki ilişkiye bağlı olacaktır. Tüm olası önemli ölçüde farklı durumlar Şekil 2'de sunulmaktadır. 206 (sayılıyor).

1. Merkezler arasındaki mesafe yarıçap farkından daha azdır:

(Şekil 206, b), küçük daire büyük dairenin içinde yer alır. Bu aynı zamanda a) merkezlerin çakışması (d = 0) durumunu da içerir.

2. Merkezler arasındaki mesafe yarıçap farkına eşittir:

(Şekil 206, s). Küçük daire büyük dairenin içinde yer alır, ancak merkezler çizgisi üzerinde onunla ortak bir noktaya sahiptir (içsel bir teğetlik olduğunu söylerler).

3. Merkezler arasındaki mesafe yarıçap farkından daha büyük ancak toplamından daha azdır:

(Şekil 206, d). Her daire diğerinin kısmen içinde, kısmen dışında yer alır.

Dairelerin, merkez çizgisine göre simetrik olarak yerleştirilmiş iki kesişme noktası K ve L vardır. Bir segment, kesişen iki dairenin ortak akorudur. Merkez çizgisine diktir.

4. Merkezler arasındaki mesafe yarıçapların toplamına eşittir:

(Şekil 206, d). Dairelerin her biri diğerinin dışında yer alır, ancak merkezler çizgisi üzerinde ortak bir noktaya sahiptirler (dış teğetlik).

5. Merkezler arasındaki mesafe yarıçapların toplamından daha büyüktür: (Şekil 206, f). Her daire diğerinin tamamen dışında yer alır. Çemberlerin ortak noktaları yoktur.

Yukarıdaki sınıflandırma tamamen tartışılanların sonucudur. Bir noktadan bir daireye olan en büyük ve en küçük mesafe sorununun üstünde. Sadece dairelerden birinde iki noktayı dikkate almanız gerekiyor: ikinci dairenin merkezine en yakın ve en uzak nokta. Örneğin, Koşula göre durumuna bakalım. Ancak küçük dairenin O'ya en uzak noktası O'nun merkezinden uzaktadır. Bu nedenle küçük dairenin tamamı büyük dairenin içinde yer alır. Diğer durumlar da aynı şekilde değerlendirilir.

Özellikle dairelerin yarıçapları eşitse yalnızca son üç durum mümkündür: kesişim, dış teğetlik, dış konum.

Ders konusu: " Bir düzlemdeki iki dairenin göreceli konumu.”

Hedef :

eğitici - İki dairenin göreceli konumu hakkında yeni bilgilere hakim olmak, sınava hazırlanmak

Gelişimsel - hesaplama becerilerinin geliştirilmesi, mantıksal-yapısal düşünmenin geliştirilmesi; rasyonel çözümler bulma ve nihai sonuçlara ulaşma becerilerini geliştirmek; bilişsel aktivitenin ve yaratıcı düşüncenin gelişimi .

eğitici – öğrencilerde sorumluluk ve tutarlılığın oluşması; bilişsel ve estetik niteliklerin gelişimi; Öğrencilerin bilgi kültürünün oluşumu.

Islah - mekansal düşünme, hafıza ve el motor becerilerini geliştirin.

Ders türü: yeni eğitim materyali öğrenme, pekiştirme.

Ders türü: karma ders.

Öğretme yöntemi: sözlü, görsel, pratik.

Çalışma şekli: toplu.

Eğitim araçları: pano

DERSLER SIRASINDA:

1. Organizasyon aşaması

- selamlar;

- derse hazırlığın kontrol edilmesi;

2. Temel bilgilerin güncellenmesi.
Önceki derslerde hangi konuları ele aldık?

Bir daire denkleminin genel formu?

Sözlü olarak gerçekleştirin:

Yıldırım araştırması

3. Yeni materyalin tanıtılması.

Sizce bugün hangi rakamı ele alacağız? Peki ya iki tane varsa??

Nasıl yerleştirilebilirler???

Çocuklar elleriyle (komşularıyla) dairelerin nasıl düzenlenebileceğini gösterirler (beden eğitimi dakikası)

Peki bugün neyi dikkate almamız gerektiğini düşünüyorsunuz? Bugün iki dairenin göreceli konumunu düşünmeliyiz. Ve konuma bağlı olarak merkezler arasındaki mesafenin ne kadar olduğunu öğrenin.

Ders konusu: « İki dairenin göreceli konumu. Problem çözme. »

1. Eş merkezli daireler

2. Ayrık daireler

3.Harici dokunuş

4. Kesişen daireler

5. Dahili dokunuş

O halde sonuca varalım

4. Beceri ve yeteneklerin oluşumu

Verilerde veya ifadede bir hata bulun ve fikrinizi gerekçelendirerek düzeltin:

A) İki daire birbirine temas ediyor. Yarıçapları R = 8 cm ve r = 2 cm, merkezler arası mesafe d = 6'dır.
B) İki çemberin en az iki ortak noktası vardır.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Çemberlerin ortak noktaları yoktur.

D) R = 8, r = 6, d = 4. Küçük daire büyük dairenin içinde yer alır.

D) İki daire biri diğerinin içinde olacak şekilde konumlandırılamaz.

5. Beceri ve yeteneklerin pekiştirilmesi.

Daireler dışarıya temas ediyor. Küçük dairenin yarıçapı 3 cm, büyük dairenin yarıçapı 5 cm'dir.

Çözüm: 3+5=8(cm)

Daireler içten temas ediyor. Küçük dairenin yarıçapı 3 cm, büyük dairenin yarıçapı 5 cm'dir. Dairelerin merkezleri arasındaki mesafe nedir?

Çözüm: 5-3=2(cm)

Daireler içten temas ediyor. Dairelerin merkezleri arasındaki mesafe 2,5 cm'dir. Dairelerin yarıçapları nedir?

cevap: (5,5 cm ve 3 cm), (6,5 cm ve 4 cm), vb.

ANLAYIŞININ KONTROL EDİLMESİ

1) İki daire nasıl konumlandırılabilir?

2) Hangi durumda çemberlerin bir ortak noktası vardır?

3) İki çemberin ortak noktasına ne denir?

4) Hangi dokunuşları biliyorsunuz?

5) Çemberler ne zaman kesişir?

6) Hangi dairelere eşmerkezli denir?

Konuyla ilgili ek görevler: Vektörler. Koordinat yöntemi "(eğer zaman kaldıysa)

1)E(4;12),F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Bul:

a) vektör koordinatlarıE.F., G.H.

b) vektör uzunluğuFG

c) O noktasının koordinatları - ortaE.F.

nokta koordinatlarıW- ortaG.H.

d) çaplı bir dairenin denklemiFG

e) bir doğrunun denklemiFH

6. Ödev

& 96 Sayı 1000. Bu denklemlerden hangisi çember denklemidir? Merkezi ve yarıçapı bulun

7. Dersi özetlemek (3 dakika.)

(sınıfın ve bireysel öğrencilerin çalışmalarının niteliksel bir değerlendirmesini yapın).

8. Yansıma aşaması (2 dakika.)

(öğrencilerin duygusal durumları, faaliyetleri, öğretmen ve sınıf arkadaşlarıyla etkileşimleri hakkında çizimleri kullanarak düşünmelerini başlatın)

Çemberlerin, orijinden merkeze kadar bir vektör ve bu çemberin yarıçapı ile tanımlanmasına izin verin.

Yarıçapları Ra ve Rb ve yarıçap vektörleri (merkeze vektör) a ve b olan A ve B dairelerini düşünün. Üstelik Oa ve Ob onların merkezleridir. Genelliği kaybetmeden Ra > Rb olduğunu varsayacağız.

Daha sonra aşağıdaki koşullar yerine getirilir:

Hedef 1: Önemli soyluların konakları

İki dairenin kesişme noktaları

A ve B'nin iki noktada kesiştiğini varsayalım. Bu kesişim noktalarını bulalım.

Bunu yapmak için, A çemberi üzerinde ve OaOb üzerinde bulunan a'dan P noktasına bir vektör. Bunu yapmak için, iki merkez arasındaki vektör olacak b - a vektörünü alıp normalleştirmeniz (eş yönlü birim vektörle değiştirmeniz) ve Ra ile çarpmanız gerekir. Ortaya çıkan vektörü p olarak gösteririz. Bu konfigürasyon Şekil 2'de görülebilir. 6

Pirinç. 6. a, b, p vektörleri ve yaşadıkları yer.

i1 ve i2'yi a'dan iki çemberin I1 ve I2 kesişim noktalarına kadar olan vektörler olarak gösterelim. i1 ve i2'nin p'den döndürülmesiyle elde edildiği açıkça ortaya çıkıyor. Çünkü OaI1Ob ve OaI2Ob üçgenlerinin tüm kenarlarını biliyoruz (yarıçap ve merkezler arasındaki mesafe), bu açıyı fi elde edebiliriz, p vektörünü bir yönde döndürmek I1'i, diğer yönde I2'yi verecektir.

Kosinüs teoremine göre şuna eşittir:

Eğer p'yi fi ile döndürürseniz, hangi yöne çevirdiğinize bağlı olarak i1 veya i2 elde edersiniz. Daha sonra kesişim noktasını elde etmek için i1 veya i2 vektörü a'ya eklenmelidir.

Bu yöntem, bir dairenin merkezi diğerinin içinde olsa bile işe yarayacaktır. Ama orada p vektörünün kesinlikle a'dan b'ye doğru belirtilmesi gerekecek, biz de öyle yaptık. Eğer p'yi başka bir çembere dayanarak inşa edersen, bundan hiçbir şey çıkmayacak

Sonuç olarak bir gerçeğin belirtilmesi gerekiyor: Eğer daireler birbirine dokunuyorsa, o zaman P'nin temas noktası olduğunu doğrulamak kolaydır (bu hem iç hem de dış temas için geçerlidir).
Burada görselleştirmeyi görebilirsiniz (başlatmak için tıklamanız gerekir).

Sorun 2: Kesişme noktaları

Bu yöntem işe yarar, ancak dönme açısı yerine kosinüsünü ve onun aracılığıyla sinüsü hesaplayabilir ve ardından vektörü döndürürken bunları kullanabilirsiniz. Bu, trigonometrik fonksiyonlardaki kodu ortadan kaldırarak hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirecektir.