Визначення парних та непарних. Як визначати парні та непарні функції

парної , якщо за всіх \(x\) з її області визначення правильно: \(f(-x)=f(x)\) .

Графік парної функції симетричний щодо осі \(y\):

Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) є парною, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається непарною, якщо при всіх \(x\) з її області визначення правильно: \(f(-x)=-f(x)\).

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат:

Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 3 + x \) є непарною, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Функції, що не є ні парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію можна завжди єдиним чином подати у вигляді суми парної та непарної функції.

Наприклад, функція \(f(x)=x^2-x\) є сумою парної функції \(f_1=x^2\) і непарної \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Деякі властивості:

1) Твір і приватне двох функцій однакової парності – парна функція.

2) Твір і приватне двох функцій різної парності - непарна функція.

3) Сума та різниця парних функцій - парна функція.

4) Сума та різниця непарних функцій - непарна функція.

5) Якщо \(f(x)\) - парна функція, то рівняння \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) має єдиний корінь тоді і тільки коли, коли \(x =0\).

6) Якщо \(f(x)\) - парна або непарна функція, і рівняння \(f(x)=0\) має корінь \(x=b\) , то це рівняння обов'язково матиме другий корінь \(x =-b) .

\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається періодичною на \(X\) , якщо для деякого числа \(T\ne 0\) виконано \(f(x)=f(x+T) \) , Де \ (x, x + T \ in X \) . Найменше \(T\) , для якого виконано цю рівність, називається головним (основним) періодом функції.

У періодичної функції будь-яке число виду \(nT\) , де \(n\in \mathbb(Z)\) також буде періодом.

Приклад: будь-яка тригонометрична функція є періодичною;
у функцій \(f(x)=\sin x\) і \(f(x)=\cos x\) головний період дорівнює \(2\pi\) , у функцій \(f(x)=\mathrm( tg)\,x\) і \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) головний період дорівнює \(\pi\) .

Для того, щоб побудувати графік періодичної функції, можна побудувати її графік на будь-якому відрізку довжиною (T) (головний період); тоді графік всієї функції добудовується зрушенням побудованої частини на ціле число періодів праворуч і ліворуч:

\(\blacktriangleright\) Область визначення \(D(f)\) функції \(f(x)\) - це безліч, що складається з усіх значень аргументу \(x\), при яких функція має сенс (визначена).

Приклад: у функції \(f(x)=\sqrt x+1\) область визначення: \(x\in

Завдання 1 #6364

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

При яких значеннях параметра \(a\) рівняння

має єдине рішення?

Зауважимо, що оскільки \(x^2\) і \(\cos x\) - парні функції, якщо рівняння матиме корінь \(x_0\) , воно також матиме і корінь \(-x_0\) .
Справді, нехай \(x_0\) – корінь, тобто рівність \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) вірна. Підставимо \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Таким чином, якщо \(x_0\ne 0\) , то рівняння вже матиме як мінімум два корені. Отже, \ (x_0 = 0 \) . Тоді:

Ми отримали два значення параметра \(a\). Зауважимо, що ми використовували те, що (x=0) точно є коренем вихідного рівняння. Але ми ніде не використовували те, що він єдиний. Отже, потрібно підставити значення параметра \(a\) у вихідне рівняння і перевірити, при яких саме \(a\) корінь \(x=0\) дійсно буде єдиним.

1) Якщо \(a=0\) , то рівняння набуде вигляду \(2x^2=0\) . Очевидно, що це рівняння має лише один корінь (x = 0). Отже, значення (a = 0) нам підходить.

2) Якщо \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , то рівняння набуде вигляду \ Перепишемо рівняння у вигляді \ Так як \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , то \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . Отже, значення правої частини рівняння (*) належать відрізку \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .

Оскільки \(x^2\geqslant 0\) , то ліва частина рівняння (*) більша або дорівнює \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Таким чином, рівність (*) може виконуватися тільки тоді, коли обидві частини рівняння дорівнюють \(\mathrm(tg)^2\,1\) . А це означає, що \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm(tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Отже, значення \(a=-\mathrm(tg)\,1\) нам підходить .

Відповідь:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Завдання 2 #3923

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких графік функції \

симетричний щодо початку координат.

Якщо графік функції симетричний щодо початку координат, то така функція є непарною, тобто виконано \(f(-x)=-f(x)\) для будь-якого \(x\) з області визначення функції. Таким чином, потрібно знайти значення параметра, при яких виконано \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8pi a+3x)4= -\left(3\) mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8pi-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ , \ dfrac (ax) 5 + 2 sin dfrac(8pi-3x)4right)quadRightarrowRightarrowquad &sindfrac(8pia+3x)4+sindfrac(8pi- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8pi a+3x)4+dfrac(8pi-3x)4right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8pi a+3x)4-dfrac(8pi-3x)4right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Останнє рівняння має бути виконано для всіх \(x\) з області визначення \(f(x)\) , отже, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\ mathbb(Z)\).

Відповідь:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Завдання 3 #3069

Рівень завдання: дорівнює ЄДІ

Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння має 4 рішення, де \(f\) – парна періодична з періодом \(T=\dfrac(16)3\) функція, визначена на всій числовій прямій , причому \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Завдання від передплатників)

Так як \(f(x)\) - парна функція, то її графік симетричний щодо осі ординат, отже, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^2\) . Таким чином, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , а це відрізок довжиною \(\dfrac(16)3\) , функція \(f(x)=ax^2\) .

1) Нехай \ (a> 0 \). Тоді графік функції \(f(x)\) виглядатиме так:


Тоді для того, щоб рівняння мало 4 рішення, потрібно, щоб графік \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) проходив через точку \(A\) :


Отже, [dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ (a+2)=-32a \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( gathered) \ right. \] Так як \ (a> 0 \), то підходить \ (a = \ dfrac (18) (23) \).

2) Нехай (a0) ). Якщо добуток двох коренів позитивний і сума їх позитивна, то і самі корені будуть позитивними. Отже, потрібно: \[\begin(cases) 12-a>0\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a