Розв'язати систему симетричних рівнянь. Симетричні системи рівнянь

Вступ

Симетрія… є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століть намагалася осягнути та створити порядок, красу та досконалість.

Поняття симетрії проходить через історію людства. Воно зустрічається вже біля джерел людського знання. Виникло воно у зв'язку з вивченням живого організму, саме людини, і використовувалося скульпторами ще V столітті до зв. е.
Слово "симетрія" грецьке. Воно означає «пропорційність», «пропорційність», однаковість розташування частин. Його широко використовують усі без винятку напрямки сучасної науки.
Про цю закономірність замислювалися багато великих людей. Наприклад, Л.Н.Толстой говорив: «Стоячи перед чорною дошкою і малюючи на ній крейдою різні фігури, я раптом був уражений думкою: чому симетрія зрозуміла оку? Що таке симетрія? Це природжене почуття. На чому ж воно засноване?
Справді, симетричність приємна оку. Хто милувався симетричністю творінь природи: листям, квітами, птахами, тваринами; або творіннями людини: будівлями, технікою, - усім тим, що нас з дитинства оточує, тим, що прагне краси та гармонії.
Сімметрі́я (др.-грец. συμμετρία - «пропорційність»), у широкому сенсі - незмінність при будь-яких перетвореннях. Так, наприклад, сферична симетрія тіла означає, що вид тіла не зміниться, якщо його обертати у просторі на довільні кути (зберігаючи одну точку на місці). Двостороння симетрія означає, що права і ліва сторона щодо будь-якої площини виглядають однаково.
З симетрією ми зустрічаємося скрізь – у природі, техніці, мистецтві, науці. Зазначимо, наприклад, симетрію, властиву метелику та кленовому листу, симетрію автомобіля та літака, симетрію в ритмічному побудові вірша та музичної фрази, симетрію орнаментів та бордюрів, симетрію атомної структури молекул та кристалів. Поняття симетрії проходить через усю багатовікову історію людської творчості. Воно зустрічається вже біля джерел людського знання; його широко використовують усі без винятку напрямки сучасної науки. Принципи симетрії відіграють важливу роль у фізиці та математиці, хімії та біології, техніці та архітектурі, живописі та скульптурі, поезії та музиці. Закони природи, що керують невичерпною у своєму різноманітті картиною явищ, у свою чергу, підкоряються принципам симетрії.

Цілі:

Розглянути види та типи симетрій;

Проаналізувати як і де використовується симетрія;

Розглянути, як симетрія використовується у шкільному курсі алгебри

Симетрія.
Слово «симетрія» має двояке тлумачення. В одному сенсі симетричне означає щось дуже пропорційне, збалансоване; симетрія показує той спосіб узгодження багатьох елементів, з допомогою якого об'єднуються в ціле. Другий зміст цього слова – рівновага. Ще Аристотель говорив про симетрію як про такий стан, що характеризується співвідношенням крайнощів. З цього висловлювання випливає, що Аристотель, мабуть, був найближчим до відкриття однієї з фундаментальних закономірностей Природи - закономірності про її двоїстість.
Слід виділити аспекти, без яких симетрія неможлива:
1) об'єкт – носій симетрії; у ролі симетричних об'єктів можуть виступати речі, процеси, геометричні постаті, математичні висловлювання, живі організми тощо.

2) деякі ознаки – величини, властивості, відносини, процеси, явища – об'єкта, які при перетвореннях симетрії залишаються незмінними; їх називають інваріантними чи інваріантами.

3) зміни (об'єкта), які залишають об'єкт тотожним самому собі за інваріантними ознаками; такі зміни називаються перетвореннями симетрії;

4) властивість об'єкта перетворюватися за виділеними ознаками на себе після відповідних його змін.

Таким чином, симетрія виражає збереження чогось за якихось змін або збереження чогось незважаючи на зміну. Симетрія передбачає незмінність як самого об'єкта, а й будь-яких його властивостей стосовно перетворенням, виконаним над об'єктом. Незмінність тих чи інших об'єктів може спостерігатися стосовно різноманітних операцій - до поворотів, переносів, взаємної заміни частин, відображень тощо. У зв'язку з цим виділяють різні типи симетрії.

Асиметрія

Асиметрія – відсутність чи порушення симетрії.
В архітектурі – симетрія та асиметрія – два протилежні методи закономірної організації просторової форми. Асиметричні композиції у процесі розвитку архітектури виникли як втілення складних поєднань життєвих процесів та умов навколишнього середовища.

Дисиметрія

Порушену, частково засмучену симетрію ми називаємо дисиметрією .
Дисиметрія - явище, поширене у живої природі. Вона й у людини. Людина дисиметрична, незважаючи на те, що обриси її тіла мають площину симетрії. Дисиметрія позначається на
кращому володінні однієї з рук, у несиметричному розташуванні серця та багатьох інших органів, у будові цих органів.
Дисиметрії людського тіла подібні і до відхилення від точної симетрії в архітектурі. Зазвичай вони викликаються практичною необхідністю, тим, що різноманіття функцій не вкладається у межі жорстких закономірностей симетрії. Іноді такі відхилення дають основу гострого емоційного ефекту.

^ Типи симетрій, що зустрічаються в математиці та в природничих науках:

Двостороння симетрія- симетрія дзеркального відображення, при якій об'єкт має одну площину симетрії, щодо якої його дві половини дзеркально симетричні. У тварин білатеральна симетрія проявляється у схожості або майже повній ідентичності лівої та правої половин тіла. При цьому завжди існують випадкові відхилення від симетрії (наприклад, відмінності в папілярних лініях, розгалуженні судин. Часто існують невеликі, але закономірні відмінності в зовнішній будові і більш істотні відмінності між правою і лівою половиною тіла в розташуванні внутрішніх органів. Наприклад, серце у ссавців зазвичай розміщене несиметрично, зі зміщенням вліво.

У тварин поява білатеральної симетрії в еволюції пов'язана з повзанням по субстрату (дном водойми), у зв'язку з чим з'являються спинна і черевна, а також права і ліва половини тіла. Загалом серед тварин білатеральна симетрія більш виражена у активно рухливих форм, ніж у сидячих. У рослин білатеральну симетрію має зазвичай не весь організм, а його окремі частини - листя або квітки. Білатерально-симетричні квітки ботаніки називають зигоморфними.

^ Симетрія n-го порядку- симетричність щодо поворотів на кут 360°/n навколо будь-якої осі. Описується гуртом Zn.

Аксіальна симетрія(Радіальна симетрія, променева симетрія) -форма симетрії, при якій тіло (або фігура) збігається саме з собою при обертанні об'єкта навколо певної точки або прямої. Часто ця точка збігається з центром симетрії об'єкта, тобто тією точкою, де
перетинається нескінченна кількість осей двосторонньої симетрії. Радіальну симетрію мають такі геометричні об'єкти, як коло, куля, циліндр або конус. Описується групою SO(2).

^ Сферична симетрія- Симетричність щодо обертань у тривимірному просторі на довільні кути. Описується групою SO(3). Локальна сферична симетрія простору чи середовища називається також ізотропією.

^ Обертальна симетрія- термін, що означає симетрію об'єкта щодо всіх або деяких власних обертань m-мірного евклідового простору.

^ Симетрія у тварин та людини.

Симетрія є життєво важливою ознакою, що відображає особливості будови, способу життя та поведінки тварини. Симетричність форми потрібна рибі, щоб плисти; птах, щоб літати. Тож симетрія в природі існує недарма: вона ще й корисна, чи інакше кажучи, доцільна. У біології центр симетрії мають: квіти, медуза, морські зірки тощо. буд. Наявність форм симетрії простежується вже в найпростіших – одноклітинних (інфузорії, амеби). Тіло людини побудовано за принципом двосторонньої симетрії. Мозок поділений на дві половини. У повній відповідності до загальної симетрії тіла людини кожна півкуля є майже точним дзеркальним відображенням іншого. Управління основними рухами тіла людини та її сенсорними функціями рівномірно розподілено між двома півкулями мозку. Ліва півкуля контролює праву сторону мозку, а праву - ліву сторону. Проведені дослідження показали, що симетрична особа є більш привабливою. Також дослідники стверджують, що особа з ідеальними пропорціями є ознакою того, що організм його володаря добре підготовлений для боротьби з інфекціями. Звичайна застуда, астма та грип з високою ймовірністю відступають перед людьми, у яких ліва сторона точно схожа на праву. І в одязі людина теж, як правило, намагається підтримувати враження симетричності: правий рукав відповідає лівому, права штанина – лівою. Ґудзики на куртці та на сорочці сидять рівно посередині, а якщо і відступають від неї, то на симетричні відстані. І водночас людина намагається підкреслити, посилити різницю між лівим і правим. У середні віки чоловіки у свій час хизувалися в панталонах зі штанинами різних кольорів (наприклад, однієї червоної, а іншої чорної або білої). Але
подібна мода завжди недовговічна. Лише тактовні, скромні відхилення від симетрії залишаються довгі часи.

Симетрія у мистецтві

Симетрія в мистецтві взагалі і в образотворчому зокрема бере свій початок у реальній дійсності, яка рясніє симетрично влаштованими формами.
Для симетричної організації композиції характерна врівноваженість її частин за масами, за тоном, кольором і навіть формою. У разі одна частина майже дзеркально схожа на другу. У симетричних композиціях найчастіше є яскраво виражений центр. Як правило, він збігається із геометричним центром картинної площини. Якщо точка сходу зміщена від центру, одна з частин більш завантажена по масах або зображення будується по діагоналі, все це повідомляє динамічність композиції і певною мірою порушує ідеальну рівновагу.
Правилом симетрії користувалися ще скульптори Стародавню Грецію. Прикладом може бути композиція західного фронтону храму Зевса та Олімпії. В її основу покладено боротьбу лапіфів (греків) з кентаврами в присутності бога Аполлона. Рух поступово посилюється від країв до центру. Воно досягає граничної виразності у зображенні двох юнаків, які замахнулися на кентаврів. Наростаючий рух як би відразу обривається на підступах до фігури Аполлона, що спокійно і велично стоїть у центрі фронтону.
Уявлення про втрачені твори знаменитих художників V століття до зв. е. можна скласти за античним вазописом і помпейськими фресками, навіяними, як вважають дослідники, творами грецьких майстрів епохи класики.
Симетричні композиції спостерігалися й у грецьких майстрів IV-III століть до зв. е. Про це можна судити з копій фресок. У помпейських фресках головні фігури перебувають у центрі пірамідальної композиції, що відрізняється симетрією.
До правил симетрії нерідко вдавалися художники під час зображення урочистих багатолюдних зборів, парадів, засідань у великих залах тощо.
Велику увагу приділяли правилу симетрії художники раннього Відродження, про що свідчить монументальний живопис (наприклад, фрески Джотто). В епоху Високого Відродження італійська композиція досягла зрілості. Наприклад, у картині «Свята Анна з Марією та немовлям Христом» Леонардо да Вінчі компонує три постаті в загострений догори трикутник. У правому нижньому кутку він дає фігурку ягня, якого тримає маленький Христос. Все скомпоновано таким чином, що цей трикутник лише вгадується під об'ємно-просторовою групою фігур.
Симетричною композицією можна назвати і «Таємну вечерю» Леонардо да Вінчі. У цій фресці показано драматичний момент, коли
Христос повідомив своїх учнів: «Один із вас зрадить мене». Психологічна реакція апостолів на ці пророчі слова пов'язує персонажів із композиційним центром, у якому перебуває постать Христа. Враження цілісності від цієї доцентрової композиції посилюється ще й тим, що художник показав приміщення трапезної в перспективі з точкою сходження паралельних ліній у середині вікна, на тлі якого чітко малюється голова Христа. Таким чином, погляд глядача мимоволі прямує до центральної фігури картини.
Серед творів, що демонструють можливості симетрії, можна також назвати «Заручини Марії» Рафаеля, де знайшли найповніше вираження прийоми композиції, характерні для епохи Відродження.
Картина В. М. Васнєцова "Богатирі" також побудована на основі правила симетрії. Центром композиції є фігура Іллі Муромця. Ліворуч і праворуч, як у дзеркальному відображенні, розміщені Альоша Попович та Добриня Микитович. Фігури розташовані вздовж картинної площини, що спокійно сидять на конях. Симетрична будова композиції передає стан відносного спокою. Ліва і права фігури за масами неоднакові, що з ідейним задумом автора. Але обидві вони менш потужні порівняно з фігурою Муромця і загалом надають повної рівноваги композиції.
Стійкість композиції викликає у глядача почуття впевненості у непереможності богатирів, захисників російської землі. Мало того, у «Богатирях» передано стан напруженого спокою на межі переходу в дію. А це означає, що й симетрія несе в собі зародок динамічного руху у часі та просторі.

Симетрія в алгебрі.

Найпростіші симетричні вирази щодо коріння квадратного рівняння зустрічаються у теоремі Вієта. Це дозволяє використовувати їх при вирішенні деяких завдань, що належать до квадратних рівнянь. Розглянемо низку прикладів.

Приклад 1:

Квадратне рівняння має коріння та . Не вирішуючи цього рівняння, виразимо і суми , . Вираз симетричний щодо і . Виразимо їх через + і , а потім застосуємо теорему Вієта.

Отже, для u отримуємо рівняння Згадаймо теорему про раціональне коріння багаточленів (§ 2.1.5). Раціональне коріння нашого рівняння слід шукати серед дільників числа –4. Перебираючи всі дільники, переконуємося, що раціонального коріння у рівняння немає. Однак ця теорема не була теоремою існування коренів. Зазначена теорема констатувала лише таке: якщо в многочлена з цілими коефіцієнтами існують раціональні коріння (але для них є ще можливість НЕ існувати), то це коріння матиме певний спеціальний вигляд. Той випадок, коли раціонального коріння немає, ця теорема і не описувала.

Спробуймо знайти коріння рівняння вихідної системи серед ірраціональних чисел. Однак для цього доведеться виявити деяку винахідливість: стандартна заміна для симетричних систем тут очевидно не працює.

Зводячи друге рівняння в куб, отримаємо: Таким чином, за теоремою Вієта, і є корінням квадратного рівняння Звідси і Значить,

1. Рівняння називаються симетричними рівняннями 3-го ступеняякщо вони мають вигляд
ах 3 + bx 2 + bх + a = 0.

Для того, щоб успішно вирішувати рівняння такого виду, корисно знати та вміти використовувати наступні найпростіші властивості зворотних рівнянь:

а)У будь-якого поворотного рівняння непарної міри завжди є корінь, рівний -1.

Справді, якщо згрупувати у лівій частині доданки наступним чином: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, тобто можливість винести загальний множник, тобто. (х + 1) (ах 2 + (b - а) x + а) = 0, тому,
х + 1 = 0 або ах 2 + (b – а)x + а = 0, перше рівняння і доводить твердження, яке нас цікавить.

б)У зворотного рівняння коренів, рівних нулю, немає.

в)При розподілі многочлена непарного ступеня на (х + 1) приватне є знову багаточленом і це доводиться по індукції.

приклад.

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

Рішення.

У вихідного рівняння обов'язково є корінь х = -1, тому розділимо х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) за схемою Горнера:

.	1	2	2	1
-1	1	2 – 1 = 1	2 – 1 = 1	1 – 1 = 0

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.

Квадратне рівняння x 2 + x + 1 = 0 не має коріння.

Відповідь: -1.

2. Рівняння називаються симетричними рівняннями 4-го ступеняякщо вони мають вигляд
ах 4+bx3+сх2+bх+a=0.

Алгоритм рішенняподібних рівнянь такий:

а)Розділити обидві частини вихідного рівняння на х 2 . Ця дія не призведе до втрати кореня, адже х = 0 рішенням заданого рівняння не є.

б)За допомогою угруповання привести рівняння до виду:

а(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.

в)Введіть нову невідому: t = (x + 1/x).

Виконаємо перетворення: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Якщо виразити x 2 + 1/x 2 , то t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 .

г)Вирішити в нових змінних отримане квадратне рівняння:

аt 2 + bt + c - 2a = 0.

д)Зробити зворотну підстановку.

приклад.

6х 4 - 5х 3 - 38x 2 - 5х + 6 = 0.

Рішення.

6х2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.

6 (х 2 + 1 / х 2) - 5 (х + 1 / х) - 38 = 0.

Вводимо t: підстановка (x+1/x) = t. Заміна: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, маємо:

6t 2 - 5t - 50 = 0.

t = -5/2 чи t = 10/3.

Повернемося до змінної х. Після зворотної заміни вирішимо два отримані рівняння:

1) x + 1/x = -5/2;

х 2 + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 чи х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х 2 - 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 чи х = 1/3.

Відповідь: -2; -1/2; 1/3; 3.

Способи розв'язання деяких видів рівнянь вищих ступенів

1. Рівняння, що мають вигляд (х + а) n + (х + b) n = c,вирішуються підстановкою t = x + (a + b)/2. Цей метод називається методом симетризації.

Прикладом такого рівняння може бути рівняння виду (х + а) 4 + (х + b) 4 = с.

приклад.

(х + 3) 4 + (х + 1) 4 = 272.

Рішення.

Робимо підстановку, про яку йшлося вище:

t = x + (3 + 1) / 2 = х + 2, після спрощення: х = t - 2.

(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.

(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.

Прибравши дужки за допомогою формул, отримаємо:

t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.

2t 4 + 12t 2 - 270 = 0.

t 4 + 6t 2 - 135 = 0.

t 2 = 9 чи t 2 = -15.

Друге рівняння коріння не дає, а ось з першого маємо t = ±3.

Після зворотної заміни отримаємо, що x = -5 або x = 1.

Відповідь: -5; 1.

Для вирішення подібних рівнянь часто виявляється ефективним і метод розкладання на множники лівої частини рівняння

2. Рівняння виду (х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = А де а + d = c + b.

Методика розв'язання подібних рівнянь полягає у частковому розкритті дужок, а потім введенні нової змінної.

приклад.

(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.

Рішення.

Обчислюємо: 1 + 4 = 2 + 3. Групуємо дужки за парами:

((х + 1) (x + 4)) ((х + 2) (x + 3)) = 24,

(Х 2 + 5х + 4) (х 2 + 5х + 6) = 24.

Зробивши заміну х 2 + 5х + 4 = t, маємо рівняння

t(t + 2) = 24, воно є квадратним:

t 2 + 2t - 24 = 0.

t = -6 чи t = 4.

Після виконання зворотної заміни легко знаходимо коріння вихідного рівняння.

Відповідь: -5; 0.

3. Рівняння виду (х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = Ах 2 де аd = cb.

Метод рішення полягає в частковому розкритті дужок, розподілі обох частин на х 2 і вирішенні сукупності квадратних рівнянь.

приклад.

(х + 12) (х + 2) (x + 3) (x + 8) = 4х2.

Рішення.

Перемноживши в лівій частині перші дві та останні дві дужки отримаємо:

(х 2 + 14х + 24) (х 2 + 11х + 24) = 4х2. Ділимо на х 2 ≠ 0.

(х + 14 + 24/х)(х + 11 + 24/х) = 4. Заміною (х + 24/х) = t приходимо до квадратного рівняння:

(t + 14) (t + 11) = 4;

t 2 + 25х + 150 = 0.

t = 10 чи t = 15.

Зробивши зворотну заміну х + 24/х = 10 або х + 24/х = 15, знаходимо коріння.

Відповідь: (-15 ± √129)/2; -4; -6.

4. Розв'язати рівняння (3х + 5) 4 + (х + 6) 3 = 4х 2 + 1.

Рішення.

Дане рівняння відразу важко класифікувати та вибрати метод розв'язання. Тому спочатку перетворимо, використовуючи різницю квадратів і різницю кубів:

((3х + 5) 2 – 4х 2) + ((х + 6) 3 – 1) = 0. Потім, після винесення загального множника, прийдемо до простого рівняння:

(х + 5) (х 2 + 18х + 48) = 0.

Відповідь: -5; -9±33.

Завдання.

Скласти многочлен третього ступеня, який має один корінь, рівний 4, має кратність 2 і корінь, рівний -2.

Рішення.

f(x)/((х – 4) 2 (х + 2)) = q(x) або f(x) = (х – 4) 2 (х + 2)q(x).

Помноживши перші дві дужки і привівши подібні доданки, отримаємо: f(x) = (х 3 – 6x 2 + 32)q(х).

х 3 – 6x 2 + 32 – багаточлен третього ступеня, отже, q(x) – деяке число з R(Тобто дійсне). Нехай q(x) є одиниця, тоді f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.

Відповідь: f(x) = х 3 - 6x 2 + 32.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

1. Рівняння називаються симетричними рівняннями 3-го ступеняякщо вони мають вигляд
ах 3 + bx 2 + bх + a = 0.

Для того, щоб успішно вирішувати рівняння такого виду, корисно знати та вміти використовувати наступні найпростіші властивості зворотних рівнянь:

а)У будь-якого поворотного рівняння непарної міри завжди є корінь, рівний -1.

Справді, якщо згрупувати у лівій частині доданки наступним чином: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, тобто можливість винести загальний множник, тобто. (х + 1) (ах 2 + (b - а) x + а) = 0, тому,
х + 1 = 0 або ах 2 + (b – а)x + а = 0, перше рівняння і доводить твердження, яке нас цікавить.

б)У зворотного рівняння коренів, рівних нулю, немає.

в)При розподілі многочлена непарного ступеня на (х + 1) приватне є знову багаточленом і це доводиться по індукції.

приклад.

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

Рішення.

У вихідного рівняння обов'язково є корінь х = -1, тому розділимо х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) за схемою Горнера:

.	1	2	2	1
-1	1	2 – 1 = 1	2 – 1 = 1	1 – 1 = 0

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.

Квадратне рівняння x 2 + x + 1 = 0 не має коріння.

Відповідь: -1.

2. Рівняння називаються симетричними рівняннями 4-го ступеняякщо вони мають вигляд
ах 4+bx3+сх2+bх+a=0.

Алгоритм рішенняподібних рівнянь такий:

а)Розділити обидві частини вихідного рівняння на х 2 . Ця дія не призведе до втрати кореня, адже х = 0 рішенням заданого рівняння не є.

б)За допомогою угруповання привести рівняння до виду:

а(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.

в)Введіть нову невідому: t = (x + 1/x).

Виконаємо перетворення: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Якщо виразити x 2 + 1/x 2 , то t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2 .

г)Вирішити в нових змінних отримане квадратне рівняння:

аt 2 + bt + c - 2a = 0.

д)Зробити зворотну підстановку.

приклад.

6х 4 - 5х 3 - 38x 2 - 5х + 6 = 0.

Рішення.

6х2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.

6 (х 2 + 1 / х 2) - 5 (х + 1 / х) - 38 = 0.

Вводимо t: підстановка (x+1/x) = t. Заміна: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, маємо:

6t 2 - 5t - 50 = 0.

t = -5/2 чи t = 10/3.

Повернемося до змінної х. Після зворотної заміни вирішимо два отримані рівняння:

1) x + 1/x = -5/2;

х 2 + 5/2 х +1 = 0;

х = -2 чи х = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

х 2 - 10/3 х + 1 = 0;

х = 3 чи х = 1/3.

Відповідь: -2; -1/2; 1/3; 3.

Способи розв'язання деяких видів рівнянь вищих ступенів

1. Рівняння, що мають вигляд (х + а) n + (х + b) n = c,вирішуються підстановкою t = x + (a + b)/2. Цей метод називається методом симетризації.

Прикладом такого рівняння може бути рівняння виду (х + а) 4 + (х + b) 4 = с.

приклад.

(х + 3) 4 + (х + 1) 4 = 272.

Рішення.

Робимо підстановку, про яку йшлося вище:

t = x + (3 + 1) / 2 = х + 2, після спрощення: х = t - 2.

(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.

(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.

Прибравши дужки за допомогою формул, отримаємо:

t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 - 4t 3 + 6t 2 - 4t + 1 = 272.

2t 4 + 12t 2 - 270 = 0.

t 4 + 6t 2 - 135 = 0.

t 2 = 9 чи t 2 = -15.

Друге рівняння коріння не дає, а ось з першого маємо t = ±3.

Після зворотної заміни отримаємо, що x = -5 або x = 1.

Відповідь: -5; 1.

Для вирішення подібних рівнянь часто виявляється ефективним і метод розкладання на множники лівої частини рівняння

2. Рівняння виду (х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = А де а + d = c + b.

Методика розв'язання подібних рівнянь полягає у частковому розкритті дужок, а потім введенні нової змінної.

приклад.

(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.

Рішення.

Обчислюємо: 1 + 4 = 2 + 3. Групуємо дужки за парами:

((х + 1) (x + 4)) ((х + 2) (x + 3)) = 24,

(Х 2 + 5х + 4) (х 2 + 5х + 6) = 24.

Зробивши заміну х 2 + 5х + 4 = t, маємо рівняння

t(t + 2) = 24, воно є квадратним:

t 2 + 2t - 24 = 0.

t = -6 чи t = 4.

Після виконання зворотної заміни легко знаходимо коріння вихідного рівняння.

Відповідь: -5; 0.

3. Рівняння виду (х + а) (х + b) (x + c) (x + d) = Ах 2 де аd = cb.

Метод рішення полягає в частковому розкритті дужок, розподілі обох частин на х 2 і вирішенні сукупності квадратних рівнянь.

приклад.

(х + 12) (х + 2) (x + 3) (x + 8) = 4х2.

Рішення.

Перемноживши в лівій частині перші дві та останні дві дужки отримаємо:

(х 2 + 14х + 24) (х 2 + 11х + 24) = 4х2. Ділимо на х 2 ≠ 0.

(х + 14 + 24/х)(х + 11 + 24/х) = 4. Заміною (х + 24/х) = t приходимо до квадратного рівняння:

(t + 14) (t + 11) = 4;

t 2 + 25х + 150 = 0.

t = 10 чи t = 15.

Зробивши зворотну заміну х + 24/х = 10 або х + 24/х = 15, знаходимо коріння.

Відповідь: (-15 ± √129)/2; -4; -6.

4. Розв'язати рівняння (3х + 5) 4 + (х + 6) 3 = 4х 2 + 1.

Рішення.

Дане рівняння відразу важко класифікувати та вибрати метод розв'язання. Тому спочатку перетворимо, використовуючи різницю квадратів і різницю кубів:

((3х + 5) 2 – 4х 2) + ((х + 6) 3 – 1) = 0. Потім, після винесення загального множника, прийдемо до простого рівняння:

(х + 5) (х 2 + 18х + 48) = 0.

Відповідь: -5; -9±33.

Завдання.

Скласти многочлен третього ступеня, який має один корінь, рівний 4, має кратність 2 і корінь, рівний -2.

Рішення.

f(x)/((х – 4) 2 (х + 2)) = q(x) або f(x) = (х – 4) 2 (х + 2)q(x).

Помноживши перші дві дужки і привівши подібні доданки, отримаємо: f(x) = (х 3 – 6x 2 + 32)q(х).

х 3 – 6x 2 + 32 – багаточлен третього ступеня, отже, q(x) – деяке число з R(Тобто дійсне). Нехай q(x) є одиниця, тоді f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.

Відповідь: f(x) = х 3 - 6x 2 + 32.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати рівняння?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Вивчаючи додаткову літературу щодо вирішення систем рівнянь, я зустрілася з новим видом систем – симетричною. І я поставила собі за мету:

Узагальнити наукові відомості на тему «Системи рівнянь».

Розібратися та навчитися вирішувати способом запровадження нових змінних;

3) Розглянути основні теорії, пов'язані з симетричними системами рівнянь

4) Навчитися розв'язувати симетричні системи рівнянь.

Історія розв'язання систем рівнянь.

Здавна застосовувалося виключення невідомих із лінійних рівнянь. У 17-18 ст. в. прийоми виключення розробляли Ферма, Ньютон, Лейбніц, Ейлер, Безу, Лагранж.

У сучасному записі система двох лінійних рівнянь із двома невідомими має вигляд: а1х + b1у = с1, а2х + b2х = с2 х = с1b1 – с2b; у = а1с2 – а2с1 Рішення цієї системи виражаються формулами.

а1b2 – а2b1 а1b2 – а2b1

Завдяки методу координат, створеному у 17 ст. Ферма і Декарт, стало можливим вирішувати системи рівнянь графічно.

У давньовавилонських текстах, написаних у 3-2 тисячоліттях до зв. е. , міститься чимало завдань, розв'язуваних за допомогою складання систем рівнянь, які вводять і рівняння другого ступеня.

Приклад №1:

Площі двох своїх квадратів я склав: 25. сторона другого квадрата дорівнює стороні першого та ще 5. Відповідна система рівнянь у відповідному записі має вигляд: х2 + у2 = 25, у = х = 5

Діофант, який не мав позначень для багатьох невідомих, докладав чимало зусиль для вибору невідомого таким чином, щоб звести рішення системи до вирішення одного рівняння.

Приклад №2:

«Знайти два натуральні числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а сума їх квадратів 208».

Завдання так само вирішували упорядкуванням системи рівнянь, х + у = 20, але вирішував х2 + у2 = 208

Діофант, вибираючи як невідомий половину різниці шуканих чисел, тобто.

(х - у) = z, + (х + у) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- не задовольняє умову задачі, тому якщо z = 2х = 12, а у = 8

Поняття системи рівнянь алгебри.

У багатьох завданнях потрібно знайти кілька невідомих величин, знаючи, що інші, утворені з їх допомогою величини (функції від невідомих) рівні один одному або якимось даним величинам. Розглянемо найпростіший приклад.

Прямокутна ділянка землі площею 2400 м2 обгороджена парканом завдовжки 200м. знайти довжину та ширину ділянки. Фактично «алгебраїчною моделлю» цього завдання є система із двох рівнянь та однієї нерівності.

Можливі обмеження-нерівності потрібно мати на увазі завжди. Коли ви вирішуєте завдання складання систем рівнянь. Але все ж таки головне – вирішити самі рівняння. Про методи, які застосовуються, я й розповім.

Почнемо з визначень.

Системою рівнянь називається набір із кількох (більше одного) рівнянь, з'єднаних фігурною дужкою.

Фігурна дужка означає, що всі рівняння системи повинні виконуватися одночасно, і показує, що потрібно знайти таку пару чисел (х; у), яка перетворює кожне рівняння на правильну рівність.

Рішенням системи називають таку пару чисел х і у, які при підстановці в цю систему звертають кожне її рівнянь у правильну числову рівність.

Вирішити систему рівнянь – це означає знайти всі її рішення або встановити, що їх немає.

Метод підстановки.

Спосіб підстановки полягає в тому, що в одному з рівнянь виражають одну змінну через іншу. Отримане вираз підставлять на інше рівняння, яке після цього звертається до рівняння з однією змінною, а потім вирішують його. Значення цієї змінної, що вийшло, підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять другу змінну.

Алгоритм.

1. Виразити через х з одного рівняння системи.

2. Підставити отримане вираз замість у інше рівняння системи.

3. Вирішити отримане рівняння щодо х.

4. Підставити по черзі кожен із знайдених на третьому кроці коренів рівняння замість х у вираз у х, отримане на першому кроці.

5) Записати відповідь у вигляді пар значень (х; у).

Приклад №1 у = х - 1,

Підставимо до другого рівняння у = х – 1, отримаємо 5х + 2 (х – 1) = 16, звідки х = 2. підставимо отриманий вираз у перше рівняння: у = 2 – 1 = 1.

Відповідь: (2; 1).

Приклад №2:

8у - х = 4, 1) 2 (8у - 4) - 21у = 2

2х - 21у = 2 16у - 8 - 21у = 2

5у = 10 х = 8у - 4, у = -2

2х - 21у = 2

2) х = 8 * (-2) - 4 х = 8у - 4, х = -20

2 (8у - 4) - 21у = 2 х = 8у - 4, у = -2 х = -20, у = -2

Відповідь: (-20; -2).

Приклад №3: х2 + у +8 = ху, 1) х2 + 2х + 8 = х * 2х у - 2х = 0 х2 + 2х + 8 = 2х2

Х2 + 2х + 8 = 0 х2 + у + 8 = ху, х2 - 2х - 8 = 0 - квадратне рівняння у = 2х х1 = -2 х2 = 4 х2 + 2х + 8 = х * 2х 2) у1 = 2 * (-2) у = 2х у1 = -4 у2 = 2 * 4 х1 = -2 у2 = 8 х2 = 4 у = 2х х1 = -2, х2 = 4 у1 = -4, у2 = 8

Отже (-2; -4); (4; 8) – рішення цієї системи.

Спосіб складання.

Метод складання полягає в тому, що якщо дана система складається з рівнянь, які при отриманому додаванні утворюють рівняння з однією змінною, то, вирішивши це рівняння, ми отримаємо значення однієї зі змінних. Значення другої змінної знаходять, як і способі підстановки.

Алгоритм розв'язання систем способом складання.

1. Зрівняти модулі коефіцієнтів за одного з невідомих.

2. Складаючи або віднімаючи отримані рівняння, знайти одне невідоме.

3. Підставляючи знайдене значення одне із рівнянь вихідної системи, знайти друге невідоме.

Приклад №1. Розв'язати систему рівнянь способом додавання: х + у = 20, х – у = 10

Віднімемо з першого рівняння друге, отримаємо

Виразимо з другого виразу х = 20 - у

Підставимо у = 5 у цей вираз: х = 20 – 5 х = 15.

Відповідь: (15; 5).

Приклад №2:

Представимо у вигляді різниці рівняння запропонованої системи, отримаємо

7у = 21, звідки у = 3

Підставимо це значення у виражене з другого рівняння системи х = отримаємо х = 4.

Відповідь: (4; 3).

Приклад №3:

2х + 11у = 15,

10х - 11у = 9

Склавши дані рівняння, маємо:

2х + 10х = 15 + 9

12х = 24х = 2, підставивши це значення у друге рівняння, отримаємо:

10 * 2 - 11у = 9, звідки у = 1.

Рішенням цієї системи є пара: (2; 1).

Графічний спосіб розв'язання систем рівняння.

Алгоритм.

1. Побудувати графіки кожного із рівнянь системи.

2. Наїті координати точки перетину побудованих прямих.

Випадок взаємного розташування прямих на площині.

1. Якщо прямі перетинаються, тобто мають одну загальну точку, тоді система рівнянь має одне рішення.

2. Якщо прямі паралельні, т. е. немає спільних точок, то система рівнянь немає рішень.

3. Якщо прямі збігаються, тобто мають безліч точок, тоді система рівнянь має безліч рішень.

Приклад №1:

Розв'язати графічно систему рівнянь х – у = -1,

Виразимо з першого та другого рівняння у: у = 1 + х, у = 4 - 2х

Побудуємо графіки кожного з рівняння системи:

1) у = 1 + х - графіком функції є пряма х 0 1 (1; 2) у 1 2

2) у = 4 - 2х - графіком функції є пряма х 0 1 у 4 2

Відповідь: (1; 2).

Приклад № 2: у х + 2у = 6,

4у = 8 – 2х х у = , у = у = - графіком функції є пряма х 0 2 у 3 2 у = - графіком функції є пряма х 0 2 у 2 1

Відповідь: рішень немає.

Приклад № 3: у х - 2у = 2,

3х - 6у = 6 х - 2у = 2, х - 2у = 2 х у = - Графіком функції є пряма х 0 2 у -1 0

Відповідь: система має безліч рішень.

Метод запровадження нових змінних.

Метод введення нових змінних полягає в тому, що вводиться нова змінна тільки в одне рівняння або дві нових змінних відразу для обох рівнянь, далі рівняння або рівняння вирішуються щодо нових змінних, після чого залишається вже вирішити простішу систему рівнянь, з якої знаходимо рішення.

Приклад №1:

Х + у = 5

Позначимо = z, тоді =.

Перше рівняння набуде вигляду z + = , воно рівносильне 6z – 13 + 6 = 0. Вирішивши рівняння, що вийшло, маємо z = ; z =. Тоді = або = , тобто перше рівняння розпалося на два рівняння, отже, маємо дві системи:

Х + у = 5 х + у = 5

Рішення цих систем є рішеннями системи.

Рішенням першої системи є пара: (2; 3), а другий-пари (3; 2).

Отже, рішеннями системи + = , х + у = 5

Є пари (2; 3); (3; 2)

Приклад №2:

Нехай = Х, а = У.

Х = , 5 * - 2У = 1

5Х - 2У = 1 2,5 (8 - 3У) - 2У = 1

20 - 7,5У - 2У = 1

Х = , -9,5У = -19

5 * - 2У = 1 У = 2

Зробимо зворотну заміну.

2 х = 1, у = 0,5

Відповідь: (1; 0,5).

Симетричні системи рівнянь.

Система з n невідомими називається симетричною, якщо вона не змінюється під час перестановки невідомих.

Симетрична система двох рівнянь із двома невідомими х і у вирішується підстановкою u = х + у, v = ху. Зауважимо, що вирази, що зустрічаються в симетричних системах виражаються через u і v. Наведемо кілька таких прикладів, що становлять безперечний інтерес для вирішення багатьох симетричних систем: х2 + у2 = (х + у) 2 - 2ху = u2 - 2v, х3 + у3 = (х + у) (х2 -ху + у2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, х2 + ху + у2 = u2 - 2v + v = u2 - v і т.д.

Симетрична система трьох рівнянь щодо невідомих х у z вирішуються підстановкою х + у + z = u, ху + уz + хz = w. Якщо знайдено u, v, w, складається кубічне рівняння t2 – ut2 + vt – w = 0, коріння якого t1, t2, t3 у різних перестановках є рішеннями вихідної системи. Вирази, що найчастіше зустрічаються в таких системах виражаються через u, v, w наступним чином: х2 + у2 + z2 = u2 - 2v х3 + у3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Приклад № 1: х2 + ху + у2 = 13, х + у = 4

Нехай х + у = u, ху = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Зробимо зворотну заміну.

Відповідь: (1; 3); (3; 1).

Приклад № 2: х3 + у3 = 28, х + у = 4

Нехай х + у = u, ху = v.

u3 - 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Зробимо зворотну заміну.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 - у ху = 3 х = 4 - у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Відповідь: (1; 3); (3; 1).

Приклад № 3: х + у + ху = 7, х2 + у2 + ху = 13

Нехай x = y = u, x = v.

u + v = 7, u2 - v = 13 u2 - v = 13 u2 - 7 + u = 13 u2 + u = 20 v = 7 - u, u (u + 1) = 20 u2 - v = 13 u = 4 v = 7 - u, u = 4 v = 3, u = 4

Зробимо зворотну заміну.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 - у ху = 3 х = 4 - у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Відповідь: (1; 3); (3; 1).

Приклад № 4: х + у = 5, х3 + у3 = 65

Нехай х + у = u, ху = v.

u = 5, u3 - 3uv = 65 u3 - 3uv = 65 125 - 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Зробимо зворотну заміну.

х + у = 5, ху = 4 х = 5 – у, ху = 4 х = 5 – у, у (5 – у) = 4 х = 5 – у у1 = 1, у2 = 4 х1 = 4, х2 = 1, у1 = 1, у2 = 4

Відповідь: (4; 1); (1; 4).

Приклад №5: х2 + ху + у2 = 49, х + у + ху = 23

Зробимо заміну невідомих, система набуде вигляду u2 + v = 49, u + v = 23

Склавши ці рівняння, отримаємо u2 + u - 72 = 0 з корінням u1 = 8, u2 = -9. Відповідно v1 = 15, v2 = 32. Залишається вирішити сукупність систем х + у = 8, х + у = -9, ху = 15 ху = 32

Система х + у = 8 має рішення х1 = 3, у1 = 5; х2=5, у2=3.

Система х + у = -9, дійсних рішень немає.

Відповідь: (3; 5), (5; 3).

Приклад №6. Розв'язати систему рівнянь.

2х2 - 3ху + 2у2 = 16, х + ху + у + 3 = 0

Використовуючи основні симетричні багаточлени u = y + x та v = ху, отримаємо наступну систему рівнянь

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

Підставляючи з другого рівняння системи вираз v = -3 - u у перше рівняння, отримаємо наступне рівняння 2u2 + 7u + 5 = 0, корінням якого є u1 = -1 і u2 = -2,5; відповідно їм значення v1 = -2 і v2 = -0,5 виходить з v = -3 – u.

Тепер залишилося вирішити наступну сукупність систем х + у = -1, і х + у = -2,5, ху = -2 ху = -0,5

Рішеннями цієї сукупності систем, отже вихідної системи (з їх еквівалентності), такі: (1; -2), (-2; 1), (;).

Приклад № 7:

3х2у - 2ху + 3ху2 = 78,

2х - 3ху + 2у + 8 = 0

За допомогою основних симетричних багаточленів система може бути записана в наступному вигляді

3uv - 2v = 78,

Виражаючи з другого рівняння u = і підставляючи його в перше рівняння, отримаємо 9v2 - 28v - 156 = 0. Коріння цього рівняння v1 = 6 і v2 = - дозволяють знайти відповідні значення u1 = 5, u2 = - з виразу u =.

Вирішимо тепер наступну сукупність систем х + у = 5, і х + у = - , ху = 6 ху = -.

х = 5 - у, і у = -х - , ху = 6 ху = -.

х = 5 - у, і у = -х -, у (5 - у) = 6 х (-х -) = -.

х = 5 - у, і у = -х - , у1 = 3, у2 = 2 х1 = , х2 = - х1 = 2, х2 = 3, і х1 = , х2 = - у1 = 3, у2 = 2 у1 = -, у2 =

Відповідь: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Висновок.

У процесі написання статті я познайомилася з різними видами систем рівнянь алгебри. Узагальнила наукові відомості на тему «Системи рівнянь».

Розібралася та навчилася вирішувати способом запровадження нових змінних;

Розглянула основні теорії, пов'язані із симетричними системами рівнянь

Навчилася розв'язувати симетричні системи рівнянь.