Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik Näidismaterjal Tund-loeng Funktsiooni mõiste. Funktsiooni omadused

Viimases tunnis kordasime ja üldistasime oma teadmisi teemal “Eksponendi mõiste”.

Pidagem meeles, et kui - pe jagatuna ku-ga on tavaline murd ja ku ei ole võrdne ühega ja a on suurem või võrdne nulliga, siis avaldise a astme pe jagatuna ku all peame silmas a aste ku pe astmeni.

Näiteks arvu üks koma kolm kuni astme kolm seitsmendikku võib kirjutada ühe punkti kolm kuubikut seitsmenda juurena.

Vormi funktsioone, kus k on mis tahes reaalarv, nimetatakse tavaliselt astmefunktsioonideks.

Täna käsitleme juhtumit, kus k on ratsionaalne (murruline) astendaja.

7.-9.klassi algebrakursusel õppisite naturaalastendajaga astmefunktsioonide omadusi ja graafikuid. Funktsioon (k-suvaline reaalarv), astmefunktsioon.

K=n (n∈N) korral -astefunktsioon naturaalastendajaga.

Tuletagem meelde selliste funktsioonide graafikuid.

Funktsiooni ehk y=x graafik (y võrdub x esimese astmega või y võrdub x-ga) on sirgjoon.

Funktsiooni (E võrdub x ruudus) graafik on parabool.

Funktsiooni graafik (E võrdub X kuubikuga) on kuupparabool.

Positiivse funktsiooni graafik (y võrdub x-iga ka astmega) paarisarvulise k korral on sarnane parabooliga. Joonisel on kujutatud astmefunktsiooni graafik, mille k võrdub kuuega.

Positiivse funktsiooni (y võrdub x ka astmega) graafik paaritu k korral on sarnane kuupparabooliga. Joonisel on kujutatud astmefunktsiooni graafik, mille k on võrdne seitsmega.

Kui astmefunktsiooni eksponendil on negatiivne täisarv, siis saame funktsiooni kujul: y võrdub x astmega miinus en või y on võrdne ühega, mis on jagatud x-ga n-nda astmeni.

Kui n on paarisarv, näeb graafik välja selline, nagu on näidatud joonisel.

Kus on näidatud funktsioon y=x-2 või y=?

Kui n on paaritu arv, näeb graafik välja selline.

Joonisel on funktsioon y=x-3 või y=

Kui astmefunktsiooni astendaja on võrdne nulliga, saab funktsioon järgmise kuju: Sellise funktsiooni graafik on sirgjoon, mis läbib ordinaat ühte ja on paralleelne abstsissteljega.

K=-n (n∈Z) korral -võimsusfunktsioon negatiivse täisarvu eksponendiga.

Vaatleme astmefunktsiooni (E võrdub x astmega k), kus k on negatiivne või positiivne murdarv.

Näitena koostame astmefunktsiooni graafiku (E on võrdne x kahe punkti kolme astmega).

Selle määratluspiirkond (st kõik x-ga aktsepteeritud väärtused) on kiir, mille alguspunkt on null.

Selles definitsioonivaldkonnas koostame funktsioonide graafikud (y võrdub x ruudus) - see on helerohelisega esile tõstetud parabooli haru ja (y võrdub x kuubikuga) - kuupparabooli haru, esile tõstetud tumerohelises värvis.

Lihtne on kontrollida, et intervallil (0;1) asub kuupparabool paraboolist allpool ja avatud kiirel (1;+) - üleval.

Pange tähele, et funktsioonide graafikud (y võrdub x ruudus), (y on võrdne x kahe punkti kolme astmega) ja (y on võrdne x kuubikuga) läbivad punkte (0;0) ja (1;1).

Argumendi x muude väärtuste korral on funktsiooni graafik (y võrdub x kahe punkti kolme astmega) funktsioonide graafikute vahel (y võrdub x ruudus) ja (y on võrdne x kuubik).

Sarnane on olukord iga astmefunktsiooniga, kus on vale murd, see tähendab, et lugeja m on suurem kui nimetaja n. Selle funktsiooni graafik on parabooli haruga sarnane kõver.

Mida kõrgem on funktsiooniindeks k, seda “järsemaks” on haru suunatud.

Joonisel on kujutatud funktsiooni y graafik, mis võrdub x-ga seitsme sekundi astmega.

Seega saame eristada järgmisi omadusi astmefunktsiooni igr võrdub x astmega em jagatud en-ga, kus lugeja m on suurem kui nimetaja n.

1. Määratluspiirkond on x väärtused nullist pluss lõpmatuseni.

4. Piiratud altpoolt x-teljega, mitte ülevalt.

5. Funktsioon võtab väikseima väärtuse null; pole kõige tähtsam.

8. Kumer allapoole.

Koostame funktsiooni graafiku, kus on õige murd (lugeja on nimetajast väiksem) ja 0< <1.

Eelnevalt käsitletud funktsiooni omadused ja graafik (y võrdub x-i n-nda juurega) või (y on võrdne x-ga, mis on jagatud n-ga) kehtivad ka funktsioonile, kus on õige murd ja 0< <1.

Meenutagem neid omadusi:

1. Määratluspiirkond on kõik x väärtused nullist pluss lõpmatuseni.

2. Funktsioon ei ole paaris ega paaritu.

3. Funktsioon suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

5. Funktsioon võtab väikseima väärtuse null; pole kõige tähtsam.

6. Funktsioon on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.

7. Funktsiooni vahemik on mängu väärtused nullist pluss lõpmatuseni.

8. Kumer ülespoole. funktsioon, kus on õige murd (lugeja on nimetajast väiksem) ja 0<

2. Ei paaris ega paaritu.

3. Suureneb võrra.

4. Piiratud altpoolt x-teljega, mitte ülevalt piiratud.

5. ynaim=0; pole kõige tähtsam.

6.Pidev.

8. Kumer ülespoole.

Vaatleme järgmist tüüpi astmefunktsiooni - funktsiooni kujul: y on võrdne x võimsusega miinus em jagatud en-ga.

Eelnevalt joonistasime astmefunktsiooni, mille negatiivne täisarv astendaja on võrdne x-ga astmele miinus k, kus k on naturaalarv.

Kui x on suurem kui null, näeb selle funktsiooni graafik välja nagu hüperbooli haru.

Sarnaselt koostatakse mistahes negatiivse ratsionaalse (murdarvulise) astendajaga astmefunktsiooni graafik.

Tuleb meeles pidada, et sellise funktsiooni graafikul on kaks asümptooti: horisontaalne - y võrdub nulliga ja vertikaalne asümptoot - x võrdub nulliga.

Seega on astmefunktsioonil igr võrdne x astmega miinus em jagatud en-ga on järgmised omadused (ja x on suurem kui null, kuna negatiivse astendajaga negatiivse aluse korral avaldise võimsus ei on loogiline):

1) Määratluspiirkond on avatud kiir nullist lõpmatuseni.

2) Funktsioon ei ole paaris ega paaritu.

3) Funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

4) Alumine on piiratud x-teljega, ülemine ei ole piiratud.

5) Funktsioonil ei ole minimaalset ega maksimaalset väärtust.

6) Funktsioon on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.

7) Funktsiooni vahemik on mängu väärtused nullist pluss lõpmatuseni.

8) Kumer allapoole.

Võimsusfunktsiooni omadused (x 0):

2). Ei paaris ega veider.

3). Väheneb.

4). Alumine on piiratud x-teljega, ülemine ei ole piiratud.

5). Sellel pole vähimat ega suurimat väärtust.

6). Pidev jaoks

8). Allapoole kumer.

Te juba teate, et vormi yrek astmefunktsiooni tuletis on võrdne x astmega en, kus n on naturaalarv, mis on võrdne n korda x astmega n miinus üks.

Samamoodi saate arvutada ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni tuletise.

Seega on tõene järgmine teoreem:

Kui x on suurem kui null ja r on suvaline ratsionaalarv, siis on astmefunktsiooni y tuletis x r astmega ja arvutatakse valemiga: x tuletis r astmega on võrdne r korda x astmeni r miinus üks.

Näiteks a tuletis miinus kolmanda astmega võrdub miinus kolm ja astmega miinus neli.

x tuletis miinus kahe kolmandiku astmele on võrdne miinus kaks kolmandikku x astmest miinus viis kolmandikku.

Siin esitati miinus üks kolme kolmandiku ebaõige murruna, seejärel liideti miinus kaks kolmandikku ja miinus kolm kolmandikku.

Teoreem: kui x>0, r-ratsionaalarv, siis

Pole keeruline saada vastavat valemit võimsusfunktsiooni integreerimiseks, kui r ei ole võrdne ühega. Seega on x määramata integraal r astmega võrdne x astmega r pluss üks jagatud r pluss üks pluss konstant ce.

Pole raske mõista, et funktsioon on võrdne x-ga astmega r pluss üks, jagatud r-ga pluss üks on funktsiooni antituletis, mis on võrdne x-i astmega r. Toitefunktsiooni integreerimise valem:

Funktsioon on funktsiooni antituletis.

Vaatleme omandatud teadmiste rakendamist astmefunktsiooni graafiku koostamisel.

Funktsiooni y graafiku koostamine on võrdne x pluss kahe poole astmega.

1. Koostame funktsiooni x graafiku poole astmega. See on funktsioon kujul, kus on õige murd (lugeja on nimetajast väiksem) ja 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. On ilmne, et funktsiooni y graafik on võrdne x pluss kahe poole astmega, mis on koostatud paralleeltõlke abil x-telje suhtes kahe ühiku võrra vasakule. Joonisel on graafik rohelisega esile tõstetud.

Joonistage funktsiooni graafik

1. - vormi funktsiooni erijuht, kus - on õige murd (lugeja on nimetajast väiksem) ja 0< <1.

2. Graafik saadi paralleeltõlke teel piki X-telge 2 ühikut vasakule.

Tunniplaan:

"Toitefunktsioon, selle omadused ja graafik"

Täisnimi Stadnik Jelena Ivanovna

Töökoht Peterburi Puškini rajooni GBOU kool nr 606

inglise keele süvaõpe.

Töö nimetus matemaatika õpetajad

Üksus Matemaatikud

Klass 10

Teema ja number teemas"Toitefunktsioon, selle omadused ja graafikud"

2 õppetundi teemas (kokku 2 õppetundi)

Põhiõpetus Sh.A. Alimov, Yu.M.Sidorov, N.E.

“Algebra ja analüüsi algus 10-11”, õpik haridusasutustele Soovitab Vene Föderatsiooni Haridusministeerium: 9. väljaanne Moskva Haridus 2007.

Tunni eesmärk: Oskuste kujundamine selleteemaliste teadmiste rakendamisel standardsete ja mittestandardsete algebraülesannete lahendamisel. Erinevate teemade teadmiste lõimimise oskuse kujundamine matemaatikakursusel

Ülesanded:

Hariduslik: (kognitiivse UUD kujunemine)

oskama võrrelda arve, lahendada võrratusi kasutades graafikuid ja (või) astmefunktsioonide omadusi

Hariduslik: (kommunikatiivsete ja isiklike haridusoskuste kujundamine)

kasvatada jätkusuutlikku huvi aine vastu, kujundada õpilaste suhtluspädevust, kasvatada vastutustunnet ja täpsust

Tunni tüüp: teadmiste üldistamine ja süstematiseerimine

Meetodid: arutelu, vaatlus, võrdlus, kogemus.

Varustus: tahvel, multimeedia seadmed, interaktiivne tahvel, arvuti, õppematerjalid, plakat nr 126(2;3) graafikutega

Tundide ajal:

1. Korralduspunkt:(2 min.), et korrata teooriat, kasutades tugimärkmeid.

2.Kodutööde kontrollimine rühmades.(10 min.)

Kohustuslik tase (1 rühm)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

Nr 119 (2,4,6) tähistab D (f), E (f) numbriliste intervallidena ja joonise numbrit vastavalt tugikontuurile .(vt 1. lisa)

Vastuse näidis:

nr 119(2): D (f )=(); E(f) =(),Joon.2

nr 119(4): D (f )=(),(0; ),

E (f) = (0;), joonis 3

nr 119(6): D (f )= ; ); E(f) = ; ), joonis 5

nr 124 lg 2 kohast

Vastuse näidis:

Õpiku joonise 13 järgi graafik

asub funktsiooni graafiku kohal

.

Nr 128. Õpilane 1 kirjutab tahvlile üles vastused küsimustele ja koostab funktsioonide skemaatilised graafikud.

Näidisvastused

2) ; D(f)= ; );

E(f) = ; );

4) ; D (f) = (-1; ); E (f) = (0; );

Kõrgtase (2. rühm) Samal ajal kui 1. rühma õpetaja kontrollib D/Z-d, täidavad 2. rühma õpilased kaarte. Ja üks õpilane tahvli juures Nr 129(2,4) Vastuse näidis:

D()=R; E () = ; );

4) . D()=R; E () = ; );

Kaardi valik 1.

Kaardi variant 2.

Nr 1. Joonistage skemaatiliselt funktsioonide graafikud:

Nr 2. Leia funktsioonigraafikute lõikepunktide koordinaadid:

III . Põhiteadmiste värskendamine:(12 min.)

1. Märkige funktsiooni määratluspiirkond ja väärtuste kogum:

,

2. Kui suurenevad või vähenevad need funktsioonid?

,

3.Antud funktsioon

Kirjutage järeldus vihikusse

Kõigi funktsioonide jaoks

4. Nr 122 (suuline). Võrrelge võimsusfunktsiooni omadusi kasutades ühtsusega:

Vastuse näidis:

nr 126(1) - juhatuses (nr 126(2,3) iseseisvalt vastavalt valikutele).

Vastuse näidis:

Koostage funktsioonide graafikud ühes koordinaatsüsteemis.

IV . Harjutuste tegemine. ( 4 min.)

nr 125(1,3,5,7) diktaadi all.

Võrrelge väljendite tähendusi:

Vastuse näidis: (vaatame uuesti toetavaid märkmeid)

3) ; sest ja funktsioon;

5) ; sest ; ja funktsioon väheneb;

7) ; sest ja funktsioon suureneb.

V . Kodutöö:(1 min.)

1 rühm - nr 125 (paaris), 175 (2,6), 177 (1,3)

2. rühm – nr 184(2.4),177(2.4),182(2.3).

VI . Tunni kokkuvõte:(3 min.) Õpilased sõnastavad tunni peamised järeldused:

Kui eksponendiks ei ole täisarv, siis funktsiooni graafik asub esimeses kvartalis.

Kui eksponendiks on positiivne mittetäisarv, siis funktsioon kasvab.

Kui eksponendiks on negatiivne mittetäisarv, siis funktsioon on kahanev. (slaidiseanss)

VII . Test (10 min) (vt 2. lisa) B1 ja B2 tasemel “4” ja “5”, B3 ja B4 – kohustuslik tase (õige vastuse eest üks punkt).

VIII . Lisaülesanded. ( 3 min.)

Lahendage võrrand: Var1.

Vastus: -1;6. Vastus: -4;4.

Tunni teema: Võimsusfunktsioonid, nende omadused ja graafikud

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

Looge tingimused teadmiste moodustamiseks võimsusfunktsioonide y = x r graafikute omaduste ja tunnuste kohta r erinevate väärtuste jaoks.

Hariduslik:

Soodustada õpilaste infooskuste arengut: oskus töötada slaiditekstiga, oskus kirjutada toetavat kokkuvõtet.

Edendada õpilaste loomingulise ja vaimse tegevuse arengut.

Jätkake oskuste arendamist selgelt ja selgelt väljendada oma mõtteid, analüüsida ja teha järeldusi.

Hariduslik:

Jätkata matemaatilise kõnekultuuri arendamist.

Aidata kaasa suhtlemispädevuse kujunemisele.

Tunni tüüp: kombineeritud

Õppetegevuse korraldamise vormid: eesmine, individuaalne.

Meetodid: selgitav-illustreeriv, osaliselt otsing.

Haridusvahendid:

arvuti, meediaprojektor;

tahvel;

slaidiesitlus (PowerPoint), (lisa 1);

õpik “Algebra ja analüüsi alged”, toim. A.G. Mordkovitš;

töövihik, joonistusvahendid;

teemat toetav kokkuvõte (Word dokument), (Lisa 3);

Teema uurimise tulemusena peaksid õpilased

Tea: võimsusfunktsiooni mõiste,

astmefunktsiooni omadused sõltuvalt eksponendist.

Suuda: nimeta astmefunktsiooni omadused sõltuvalt eksponendist,

koostada astmefunktsioonide graafikud (graafikute visandid) ratsionaalsega

indikaator

teha lihtsaid graafiteisendusi,

oskama kirjutada toetavat kokkuvõtet,

oskama selgelt ja selgelt väljendada oma mõtteid, analüüsida ja teha järeldusi.

Tundide ajal: Jätkame tööd võimsusfunktsioonide graafikute koostamise oskuste arendamisega. Mitmed sellised funktsioonid on meile tuttavad 7.-9. klassi algebra kursusest, need on loomuliku astendajaga funktsioonid ja negatiivse täisarvulise astendajaga astmefunktsioonid. Viimases tunnis panime teiega kirja murdosaastendajatega astmefunktsioonide teooria

y = x p, kus p on antud reaalarv

Astmefunktsiooni omadused ja graafik sõltuvad reaalse astendajaga astme omadustest ja eelkõige x ja p väärtustest, mille puhul võimsus x p on mõttekas.

2.

Võimsusfunktsioonide omaduste üldistus. Töötamine toetava kontuuriga.

1. Töötage tahvlil: koostada funktsioonide graafikud. y = x 4, y = x 7, y = x -2, y = x -5, y = x 2/5, y = x 1,3, y = x -1/3

Juhatuses töötab 7 inimest, kohalejääjad liidetakse edasiseks kontrollimiseks rühmadesse

Kinnistud loetleme vastavalt planeeringule.

Domeen.

Väärtuste vahemik (väärtuste komplekt).

Paaris, paaritu funktsioon.

Suureneb, väheneb.

Töö lõpus kontrollivad paigale jäänud õpilased (ekraanile kuvatakse funktsioonide graafikutega slaidid).

2. "matemaatiline loto" Ekraanile kuvatakse valmis funktsioonigraafikud, tahvlile kirjutatakse valemite komplektid ja on vaja luua seoseid.

Vastastikune kontroll:

Õiged vastused: nr 1 578 643 192

3 Suuline töö

1. Leidke nende funktsioonide graafikute abil intervallid, milles funktsiooni y = x π graafik asub funktsiooni y = x graafiku kohal (all).

2. Leia nende funktsioonide graafikute abil intervallid, milles funktsiooni y = x sin 45 graafik asub funktsiooni y = x graafiku kohal (all).

3. Leia joonise abil intervallid, milles funktsiooni y = x 1- π graafik asub funktsiooni y = x graafiku kohal (all).

Graafikute teisendamine

Paljudel juhtudel saab funktsioonigraafikuid koostada juba teadaolevate lihtsama kujuga funktsioonigraafikute mõne teisendusega. Meenutagem mõnda neist.

Kaaluge astmefunktsiooni graafiku verbaalset teisendamist ja seejärel koostage kaks graafikut.

Iseseisev töö

Defineerige ise võimsusfunktsioon, koostage selle graafik, kirjeldage selle omadusi

4.3 TOIME FUNKTSIOON, SELLE OMADUSED JA GRAAFIKA

Õppematerjali sisu:

1. Võimsusfunktsioon, definitsioon, tähistus.

2. Võimsusfunktsiooni põhiomadused.

3. Võimsusfunktsioonide ja nende tunnuste graafikud.

4. Funktsiooni väärtuste arvutamine argumendi väärtuse põhjal. Punkti asukoha määramine graafikul selle koordinaatide järgi ja vastupidi.

5. Funktsioonide omaduste kasutamine kraadide väärtuste võrdlemiseks.

Võimsus nimetatakse vormi funktsiooniks y = x r , Kusx on astme alus,

r– astendaja astefunktsiooni omadused. Vaatleme erinevate astendajatega astmefunktsioonide põhiomadusi ja nende graafikuid.

a) Funktsiooni omadused y = x r , r > 1

D(x) = )