Взаємне розташування двох кіл. Взаємне розташування двох кіл на площині

Тема урока: " Взаємне розташування двох кіл на площині».

Ціль :

Освітня - засвоєння нових знань про взаємне розташування двох кіл, підготовка до контрольної роботи

Розвиваюча - розвиток обчислювальних навичок, розвиток логіко-структурного мислення; формування навичок знаходження раціональних шляхів вирішення та досягнення кінцевих результатів; розвиток пізнавальної діяльності та творчого мислення.

Виховна – формування в учнів відповідальності, системності; розвиток пізнавальних та естетичних якостей; формування інформаційної культури учнів.

Корекційна - розвивати просторове мислення, пам'ять, моторику рук.

Тип уроку:вивчення нового навчального матеріалу; закріплення.

Вигляд уроку:змішаний урок.

Метод навчання:словесний, наочний, практичний.

Форма навчання:колективна.

Засоби навчання:дошка

ХІД УРОКУ:

1. Організаційний етап

- Привітання;

- перевірка підготовленості до уроку;

2. Актуалізація опорних знань.
Яку тему ми проходили на минулих уроках?

Загальний вигляд рівняння кола?

Виконати усно:

Бліц опитування

3. Введення нового матеріалу.

Як ви думаєте, а яку фігуру ми сьогодні розглядатимемо…. А якщо їх дві?

Як вони можуть бути розташовані?

Діти показують руками (сусіди) як можуть розташовуватися кола ( фізкультхвилинка)

Ну і як ви думаєте що ми сьогодні повинні розглянути? Ми сьогодні повинні розглянути взаємне розташування двох кіл. І з'ясувати, яка відстань між центрами залежить від розташування.

Тема урока:« Взаємне розташування двох кіл. Вирішення задач.»

1. Концентричні кола

2. Непересічні кола

3.Зовнішній дотик

4. Кола, що перетинаються

5. Внутрішній дотик

Отже зробимо висновок

4.Формування умінь та навичок

Знайдіть помилку в даних або в затвердженні та виправте її, обґрунтувавши свою думку:

А) Два кола стосуються. Радіуси їх дорівнюють R = 8 см та r = 2 см, відстань між центрами d = 6.
Б) Два кола мають принаймні дві загальні точки.

В) R = 4, r = 3, d = 5. Кола не мають спільних точок.

Г) R = 8, r = 6, d = 4. Менша окружність розташована всередині більшої.

Д) Два кола що неспроможні розташовуватися отже одна перебуває усередині інший.

5.Закріплення навичок та умінь.

Кола стосуються зовнішнім чином. Радіус меншого кола дорівнює 3 см. Радіус більший - 5 см. Чому дорівнює відстань між центрами?

Рішення: 3+5=8(см)

Кола стосуються внутрішнім чином. Радіус меншого кола 3 см. Радіус більшого кола-5 см. Чому дорівнює відстань між центрами кіл?

Рішення: 5-3 = 2 (см)

Кола стосуються внутрішнім чином. Відстань між центрами кіл 2,5 см. Чому рівні радіуси кіл?

відповідь: (5,5 см та 3 см), (6.5 см та 4 см) і т.д.

ПЕРЕВІРКА РОЗУМІННЯ

1) Як можуть розташовуватися два кола?

2) У якому разі кола мають одну загальну точку?

3) Як називається загальна точка двох кіл?

4) Які торкання вам відомі?

5) Коли кола перетинаються?

6) Які кола називаються концентричними?

Додаткові завдання: Вектори. Метод координат»(якщо залишиться час)

1)Е(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Знайти:

а) координати векторів EF, GH

б) довжину вектора FG

в) координати точки О – середини EF

координати точки W – середини GH

г) рівняння кола з діаметром FG

д) рівняння прямої FH

6. Домашнє завдання

& 96 №1000. Які з цих рівнянь є рівняннями кола. Знайти центр та радіус

7. Підбиття підсумків уроку(3 хв.)

(дати якісну оцінку роботи класу та окремих учнів).

8. Етап рефлексії(2 хв.)

(ініціювати рефлексію учнів щодо свого емоційного стану, своєї діяльності, взаємодії з учителем та однокласниками за допомогою малюнків)

Нехай дано коло і точка, що не збігається з її центром С (рис. 205). Можливі три випадки: точка лежить усередині кола (рис. 205, а), на колі (рис. 205 б) поза кола (рис. 205 в). Проведемо пряму вона перетне коло в точках К і L (у разі б) точка збігається з яких одна буде найближчою до точки порівняння з усіма іншими точками кола), а інша - найбільш віддаленої.

Приміром, на рис. 205, а точка До кола - найближча до . Справді, для будь-якої іншої точки кола ламана довша відрізка САГ: але й тому Навпаки, для точки L знайдемо (знову ламана довша відрізка прямої). Розбір решти двох випадків надаємо читачеві. Зауважимо, що найбільша відстань дорівнює найменша якщо або .

Перейдемо до аналізу можливих випадків розташування двох кіл (рис. 206).

а) Центри кіл збігаються (рис. 206, а). Такі кола називаються концентричними. Якщо радіуси цих кіл не рівні, то одна з них лежить всередині іншої. У разі рівності радіусів вони збігаються.

б) Нехай тепер центри кіл різні. З'єднаємо їх прямий, вона називається лінією центрів цієї пари кіл. Взаємне розташування кіл залежатиме лише від співвідношення між величиною відрізка d, що з'єднує їх центри, і величинами радіусів кіл R, м. Всі можливі істотно різні випадки представлені на рис. 206 (вважаємо).

1. Відстань між центрами менше різниці радіусів:

(рис. 206, б), мала коло лежить усередині великої. Сюди можна віднести і випадок а) збігу центрів (d = 0).

2. Відстань між центрами дорівнює різниці радіусів:

(Рис. 206, s). Мале коло лежить усередині великої, але має з нею одну загальну точку на лінії центрів (кажуть, що має місце внутрішній дотик).

3. Відстань між центрами більше різниці радіусів, але менше їх суми:

(Рис. 206, г). Кожна з кіл лежить частково всередині, частково поза іншою.

Кільця мають дві точки перетину К і L, розташовані симетрично щодо лінії центрів . Відрізок - загальна хорда двох кіл, що перетинаються. Він перпендикулярний до лінії центрів.

4. Відстань між центрами дорівнює сумі радіусів:

(Рис. 206, д). Кожна з кіл лежить поза іншою, але вони мають загальну точку на лінії центрів (зовнішнє торкання).

5. Відстань між центрами більша за суму радіусів: (рис. 206, е). Кожна з кіл цілком лежить поза іншою. Кола не мають спільних точок.

Наведена класифікація повністю випливає із розібраного. вище питання про найбільшу та найменшу відстань від точки до кола. Слід лише розглянути на одному з кіл дві точки: найближчу і далеку від центру другого кола. Наприклад, розберемо випадок за умовою . Але найбільш віддалена від Про точка малого кола знаходиться від центру Про на відстані Тому все мале коло лежить всередині великої. Також розглядаються та інші випадки.

Зокрема, якщо радіуси кіл рівні, то можливі лише три останні випадки: перетин, зовнішнє торкання, зовнішнє розташування.

Тема урока: " Взаємне розташування двох кіл на площині».

Ціль :

Освітня - засвоєння нових знань про взаємне розташування двох кіл, підготовка до контрольної роботи

Розвиваюча - розвиток обчислювальних навичок, розвиток логіко-структурного мислення; формування навичок знаходження раціональних шляхів вирішення та досягнення кінцевих результатів; розвиток пізнавальної діяльності та творчого мислення .

Виховна – формування в учнів відповідальності, системності; розвиток пізнавальних та естетичних якостей; формування інформаційної культури учнів.

Корекційна - розвивати просторове мислення, пам'ять, моторику рук.

Тип уроку: вивчення нового навчального матеріалу; закріплення.

Вигляд уроку: змішаний урок.

Метод навчання: словесний, наочний, практичний.

Форма навчання: колективна.

Засоби навчання: дошка

ХІД УРОКУ:

1. Організаційний етап

- Привітання;

- перевірка підготовленості до уроку;

2. Актуалізація опорних знань.
Яку тему ми проходили на минулих уроках?

Загальний вигляд рівняння кола?

Виконати усно:

Бліц опитування

3. Введення нового матеріалу.

Як ви думаєте, а яку фігуру ми сьогодні розглядатимемо…. А якщо їх дві?

Як вони можуть бути розташовані?

Діти показують руками (сусіди) як можуть розташовуватися кола (фізкультхвилинка)

Ну і як ви думаєте що ми сьогодні повинні розглянути? Ми сьогодні повинні розглянути взаємне розташування двох кіл. І з'ясувати, яка відстань між центрами залежить від розташування.

Тема урока: « Взаємне розташування двох кіл. Вирішення задач. »

1. Концентричні кола

2. Непересічні кола

3.Зовнішній дотик

4. Кола, що перетинаються

5. Внутрішній дотик

Отже зробимо висновок

4.Формування умінь та навичок

Знайдіть помилку в даних або в затвердженні та виправте її, обґрунтувавши свою думку:

А) Два кола стосуються. Радіуси їх дорівнюють R = 8 см та r = 2 см, відстань між центрами d = 6.
Б) Два кола мають принаймні дві загальні точки.

В) R = 4, r = 3, d = 5. Кола не мають спільних точок.

Г) R = 8, r = 6, d = 4. Менша окружність розташована всередині більшої.

Д) Два кола що неспроможні розташовуватися отже одна перебуває усередині інший.

5.Закріплення навичок та умінь.

Кола стосуються зовнішнім чином. Радіус меншого кола дорівнює 3 см. Радіус більший - 5 см. Чому дорівнює відстань між центрами?

Рішення: 3+5=8(см)

Кола стосуються внутрішнім чином. Радіус меншого кола 3 см. Радіус більшого кола-5 см. Чому дорівнює відстань між центрами кіл?

Рішення: 5-3 = 2 (см)

Кола стосуються внутрішнім чином. Відстань між центрами кіл 2,5 см. Чому рівні радіуси кіл?

відповідь: (5,5 см та 3 см), (6.5 см та 4 см) і т.д.

ПЕРЕВІРКА РОЗУМІННЯ

1) Як можуть розташовуватися два кола?

2) У якому разі кола мають одну загальну точку?

3) Як називається загальна точка двох кіл?

4) Які торкання вам відомі?

5) Коли кола перетинаються?

6) Які кола називаються концентричними?

Додаткові завдання: Вектори. Метод координат »(якщо залишиться час)

1) Е (4; 12),F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Знайти:

а) координати векторівEF, GH

б) довжину вектораFG

в) координати точки О – серединиEF

координати точкиW– серединиGH

г) рівняння кола з діаметромFG

д) рівняння прямоїFH

6. Домашнє завдання

& 96 №1000. Які з цих рівнянь є рівняннями кола. Знайти центр та радіус

7. Підбиття підсумків уроку (3 хв.)

(дати якісну оцінку роботи класу та окремих учнів).

8. Етап рефлексії (2 хв.)

(ініціювати рефлексію учнів щодо свого емоційного стану, своєї діяльності, взаємодії з учителем та однокласниками за допомогою малюнків)

Нехай кола задані вектором від початку координат до центру та радіусом цього кола.

Розглянемо кола A та B з радіусами Ra та Rb та радіус-векторами (вектор до центру) a та b. При цьому Oa та Ob – їх центри. Без обмеження спільності міркування, вважатимемо, що Ra > Rb.

Тоді виконуються такі умови:

Завдання 1: Особняки важливих вельмож

Точки перетину двох кіл

Припустимо, A та B перетинаються у двох точках. Знайдемо ці точки перетину.

Для цього вектор від a до точки P, що лежить на колі A і лежить на OaOb. Для цього треба взяти вектор b - a, який буде вектором між двома центрами, нормалізувати (замінити на сонаправленный одиничний вектор) і помножити на Ra. Вектор, що вийшов, позначимо як p. Цю конфігурацію можете побачити на рис. 6

Мал. 6. Вектори a, b, p і де вони мешкають.

Позначимо i1 та i2 як вектора від a до точок перетину I1 та I2 двох кіл. Стає очевидно, що i1 та i2 виходять поворотом з p. Т.к. нам відомі всі сторони трикутників OaI1Ob та OaI2Ob (Радіуси та відстань між центрами), ми можемо отримати цей кут fi, поворот на якого вектор p в одну сторону дасть I1, а в іншу I2.

За теоремою косінусів, він дорівнює:

Якщо повернути p на fi, то вийде i1 або i2, залежно від того, в який бік повертати. Далі вектор i1 або i2 треба скласти з a для отримання точки перетину

Цей метод спрацює навіть якщо центр одного кола лежить усередині іншого. Але там точно вектор p доведеться ставити в напрямку від a до b, що ми робили. Якщо будувати p, спираючись на інше коло, тоді нічого не вийде

Ну і насамкінець треба згадати один факт: якщо кола торкаються, то нескладно переконається, що P і є точка торкання (це вірно і для внутрішнього, і для зовнішнього торкання).
Тут ви можете бачити візуалізацію (для запуску потрібно натиснути).

Завдання 2: Точки перетину

Цей метод робочий, але замість кута повороту можна обчислити його косинус, а через нього синус, після чого використовувати їх при повороті вектора. Це істотно спростить обчислення, позбавивши код тригонометричних функцій.